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1、Ordinary Differential Equations,ODE,一阶常微分方程的初值问题： 节点：x1x2 xn 步长 为常数,一 欧拉方法（折线法） yi+1=yi+h f(xi,yi) (i =0,1, , n-1) 优点：计算简单。 缺点：一阶精度。 二 改进的欧拉方法,精确解：,function t,y = Heun(ode,tspan,h,y0) t = (tspan(1):h:tspan(end); n = length(t); y = y0*ones(n,1); for i=2:n k1 = feval(ode,t(i-1),y(i-1); k2 = feval(ode,
2、t(i),y(i-1)+h*k1); y(i) = y(i-1)+h*(k1+k2)/2; end,三 龙格库塔法(Runge-Kutta) 欧拉公式可改写为 它每一步计算 f (xi,yi) 一次，截断误差为O(h2),标准四阶龙格库塔公式 每一步计算 f (x, y) 四次，截断误差为O(h5),对于两个分量的一阶常微分方程组,用经典4阶 Runge-Kutta 法求解的格式为,n 级显式Runge-Kutta 方法的一般计算格式：,其中,Adams 外插公式（Adams-Bashforth 公式）是一类 k+1 步 k+1 阶显式方法 三步法（k=2）,四步法（k=3）,Adams 内插
3、公式（Adams-Moulton 公式）是一类 k+1 步 k+2 阶隐式方法 三步法（k=2）,Adams 预估-校正方法（Adams-Bashforth-Moulton 公式） 一般取四步外插法与三步内插法结合。,#include #include #include #define TRUE 1 main() int nstep_pr, j, k; float h, hh, k1, k2, k3, k4, t_old, t_limit, t_mid, t_new, t_pr, y, ya, yn; double fun(); printf( n Fourth-Order Runge-Kut
4、ta Scheme n ); while(TRUE) printf( Interval of t for printing ?n ); scanf( %f, ,do for( j = 1; j = nstep_pr; j+ ) t_old = t_new; t_new = t_new + h; yn = y; t_mid = t_old + hh; yn = y; k1 = h*fun( yn, t_old ); ya = yn + k1/2; k2 = h*fun( ya, t_mid ); ya = yn + k2/2; k3 = h*fun( ya, t_mid ); ya = yn +
5、 k3 ; k4 = h*fun( ya, t_new ); y = yn + (k1 + k2*2 + k3*2 + k4)/6; printf( %12.5f %15.6e n, t_new, y ); while( t_new = t_limit ); printf( -n ); printf( Maximum t limit exceeded n ); printf( Type 1 to continue, or 0 to stop.n ); scanf( %d, ,double fun(y, t) float y, t; float fun_v; fun_v = -y; return
6、( fun_v ); ,四 误差的控制 我们常用事后估计法来估计误差，即从xi出发，用两种办法计算y(xi+1)的近似值。 记 为从xi出发以h为步长得到的y(xi+1)的 近似值，记 为从xi出发以 h/2 为步长跨 两步得到的y(xi+1)的近似值。设给定精度为。如果不等式 成立，则 即为y(xi+1)的满足精度要求的近似值。,自适应： 使用2个不同的h。如果一个大的h和一个小的h得到的解相同，那么减小h就没有意义了；相反如果两个解差别大，可以假设大h值得到的解是不精确的。 使用相同的h值，2种不同的算法。如果低精度算法与高精度算法的结果相同，则没有必要减小h。,Ode23 非刚性, 单步
7、法, 二三阶Runge-Kutta,精度低 Ode45非刚性, 单步法, 四五阶Runge-Kutta,精度较高,最常用 Ode113非刚性, 多步法, 采用可变阶(1-13)Adams PECE 算法, 精度可高可低 Ode15s 刚性, 多步法,采用Gears (或BDF)算法, 精度中等. 如果ode45很慢, 系统可能是刚性的,可试此法 Ode23s 刚性, 单步法, 采用2阶Rosenbrock法, 精度较低, 可解决ode15s 效果不好的刚性方程. Ode23t 适度刚性, 采用梯形法则,适用于轻微刚性系统,给出的解无数值衰减. Ode23tb 刚性, TR-BDF2, 即R-K
8、的第一级用梯形法则,第二级用Gear 法. 精度较低, 对于误差允许范围比较差的情况,比ode15s好.,Matlab 函数,Matlabs ode23 (Bogacki, Shampine),Runge-Kutta-Fehlberg方法(RKF45),4阶Runge-Kutta近似,5阶Runge-Kutta近似,局部误差估计,Matlabs ode45 is a variation of RKF45,Van der Pol:,function xdot = vdpol(t,x) xdot(1) = x(2); xdot(2) = -(x(1)2 -1)*x(2) -x(1); xdot =
9、 xdot; % VDPOL must return a column vector. % xdot = x(2); -(x(1)2 -1)*x(2) -x(1); % xdot = 0 , 1; -1 ,-(x(1)2 -1) *x; t0 = 0; tf = 20; x0 = 0; 0.25; t,x = ode45(vdpol,t0,tf,x0); plot(t,x); figure(101) plot(x(:,1),x(:,2);,Lorenz吸引子 function xdot = lorenz(t,x) xdot = -8/3, 0, x(2); 0, -10, 10; -x(2),
10、 28, -1*x; x0 = 0,0,eps; t,x = ode23(lorenz,0,100,x0); plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3); plot(x(:,1),x(:,2);,function yp = examstiff(t,y) yp = -2, 1; 998, -998*y + 2*sin(t);999*(cos(t)-sin(t); y0 = 2;3; tic,t,y = ode113(examstiff,0,10,y0);toc tic,t,y = ode45(examstiff,0,10,y0);toc tic,t,y = ode23(examstif
11、f,0,10,y0);toc tic,t,y = ode23s(examstiff,0,10,y0);toc tic,t,y = ode15s(examstiff,0,10,y0);toc tic,t,y = ode23t(examstiff,0,10,y0);toc tic,t,y = ode23tb(examstiff,0,10,y0);toc,刚性方程,向后差分方法（Gears method） 隐式Runge-Kutta法,function f = weissinger(t,y,yp) f = t*y2*yp3 - y3*yp2 + t*(t2+1)*yp - t2*y; t0 = 1;
12、 y0 = sqrt(3/2); yp0= 0; % guess y0,yp0 = decic(weissinger,t0,y0,1,yp0,0); % 求出自洽初值。保持y0不变 t,y = ode15i(weissinger,1,10,y0,yp0); ytrue = sqrt(t.2+0.5); plot(t,ytrue,t,y,o),线性隐式ODE:,完全隐式ODE(Matlab7):,Weissinger方程:,function yp = ddefun(t,y,Z) yp = zeros(2,1); % define lags=1,3 yp(1) = Z(1,2)2 + Z(2,1)
13、2; yp(2) = y(1) + Z(2,1); function y = ddehist(t) y = zeros(2,1); y(1) = 1; y(2) = t-2;,lags = 1,3; sol = dde23(ddefun,lags,ddehist,0,1); hold on; plot(sol.x,sol.y(1,:),b-); plot(sol.x,sol.y(2,:),r-);,延迟微分方程,Sol = dde23(ddefun,lags,ddehist,tspan),初值:,有限差分法 二阶线性边值问题,差分离散：,bvp4c,线性边值问题的打靶法： 二阶线性边值问题(1
14、1)的可以通过求解下面两个初值问题获得。,原来边值问题的解可以表示为：,非线性边值问题的打靶法,(IVP1),(IVP2),符号计算 y = dsolve(D2y = -a2*y,x) %求通解 y = dsolve(D2y = -a2*y,y(0)=1,Dy(pi/a)=0,x) x,y = dsolve(Dx=4x-2y,Dy=2x-y,t),Pdetool 求解区域,定义边界,网格划分,计算,画图,保存文件求解,边条,解析解,演示求解过程,Stokes 问题,Q1-P0有限元离散,Navier-Stokes 问题,MAC差分离散,物理问题的控制方程：,前台阶流（A Mach 3 Wind
15、 Tunnel with a Step） 模拟放置在风洞中的前台阶流动。风洞尺寸：宽1.0，长3.0，台阶高0.2，放置在距风洞左边界0.6个单位长度处。,Sod问题 Sod问题是在激波管中充以两种介质，维持一定的压力差，用隔膜分开；当隔膜突然破裂后，形成间断面，研究其时间发展情况。 Euler方程组：,A picture is worth a thousand words. - Anonymous,Make it right before you make it faster. - Brain W. Kernighan, P. J. Plauger, The Elements of Programming Style(1978),
