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1、连续系统的时域分析研究的主要内容是基于信号时域分解的思想，利用线性时不变系统的特性，得到线性时不变连续系统在任意激励作用条件下的零状态响应等于系统的冲激响应和激励信号的卷积积分。,第二章 连续时间信号与系统时域分析,本章重点和难点,重点： 1）熟练掌握典型信号的定义与性质，微分方程的建立与求解； 2）深刻理解系统的特征多项式、特征方程、特征根的意义及求解； 3）单位冲激响应与单位阶跃响应的意义及求解； 4）零输入响应和零状态响应； 5）自由响应和强迫响应，瞬态响应和稳态响应,难点： 掌握卷积积分的定义、运算规律及主要性质，并会应用卷积积分法求线性时不变系统的零状态响应。,第二章 连续时间信号与
2、系统的时域分析,本章教学内容,F,F,F,F,F,F,F,常用典型信号,连续时间信号的分解,连续时间系统的数学模型,连续时间系统的时域模拟,连续时间系统的响应,单位冲激响应,卷积,一实指数信号,函数表示式为：,图2.1实指数信号的波形,2.1 常用典型信号,二复指数信号,函数表示式为:,由欧拉公式，可得,图2.2 复指数信号实部和虚部的波形,根据,、,的不同取值，复指数信号可表示为下列几种特殊信号：,2当,而,时，,为实指数信号；,的周期信号。,三抽样信号,抽样信号,定义为,图2.3 抽样信号,信号满足：,四、单位阶跃函数,2.1常用典型信号,此函数在t=0处不连续，函数值未定义。,1.定义,
3、2. 可代替电路中的开关，故又称为开关函数,3. 给函数的表示带来方便,t,t,(a),(b),(c),五、单位脉冲函数,1、定义,2.,=,+,六、符号函数Sgn(t),2.,1.定义,七、单位斜变函数R(t) 1.定义,八.,（1）,1、定义,unit impulse function,或,2. 的基本性质 (1)筛选性:设f(t)为一连续函数，则有,(2) 是偶函数(证明参看p22),(3)冲激函数 的积分等于阶跃函数,九、 1、定义,t,t,2、,引入广义函数后，瞬息物理现象则可由奇异函数来描述，例如：,例1.有始周期锯齿波的分解,2.2 连续时间信号分解,分解将时间函数用若干个奇异函
4、数之和来表示。,例2.任意函数表示为阶跃函数的积分(例2.4),F,F动画演示,例3.任意函数表示为冲激函数的积分.(例2.3),F,F动画演示,一、线性时不变系统的分析方法 第一步：建立数学模型 第二步：运用数学工具去处理 第三步：对所得的数学解给出物理解释，赋予物理意义。 例一：对图示电路列写电流 的微分方程。,2.3 连续时间系统的数学模型,解：由两类约束关系，分别列两回路方程得： 回路1的KVL方程：,电阻R的伏安关系： 整理后得：,回路2的KVL方程：,例2. 对图示电路，写出激励e(t)和响应r(t)间的微分方程。,解：由图列方程,KCL:,KVL:,将（2）式两边微分，得,将（3
5、）代入（1）得,*由以上例题可以得出如下结论： 1.求得的微分方程阶数与电路的阶数一致。 例一：含有4个储能元件，故为四阶电路。 例二：含有2个储能元件，故为二阶电路。,2.无论是电流i(t)或电压U（t）,他们的齐次方程相同。 说明同一系统的特征根相同，即自由频率是唯一的。,二、描述连续时间系统激励与响应关系的数学模型。,一般，对于一个线性系统，其输入与输出之间关系，总可以用下列形式的微分方程来描述：,n阶常系数微分方程,三、n阶常系数微分方程的求解法 the solution method for constant-coefficient difference equation of Nt
6、h-order,全响应= 齐次方程通解 + 非齐次方程特解 （自由响应） （受迫响应）,全响应= 零输入响应 + 零状态响应 （解齐次方程） （叠加积分法）,时域分析法 （经典法）,变换域法 （第五章拉普拉斯变换法）,微分方程求解,2.4 连续时间系统的时域模拟,加法器:,标量乘法器:,延时器：,初始条件为零的积分器,初始条件不为零的积分器,描述LTI连续系统激励与响应关系的数学模型是n阶线性常系数微分方程。,上式缩写为：,2.5 连续时间系统的响应,令,表2.1不同特征根所对应的齐次解,式中常数 由初始条件确定。,特解是满足微分方程并和激励信号形式有关的解。表2.2列出了几种激励及其所对应特
7、解的形式。,激励,特解,或,等于,A,有,所有特征根均不等于,例描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t) 求（1）当f(t) = 2e-t，t0；y(0)=2，y(0)= 1时的全解； （2）当f(t) = e-2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0时的全解。,解: (1) 特征方程为2 + 5+ 6 = 0 ,其特征根1= 2，2= 3。 齐次解为y h(t) = C1e 2t + C2e 3t,由表2.2可知，当f(t) = 2e t时，其特解可设为 Y P(t) = Pe t,将其代入微分方程得 Pe t + 5( Pe t) + 6Pe t =
8、 2e t 解得 P=1,于是特解为yp(t) = e t 全解为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t,其中待定常数C1,C2由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y(0) = 2C1 3C2 1= 1 解得C1 = 3 ，C2 = 2 最后得全解y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0,（2）齐次解同上。当激励f(t)=e2t时，其指数与特征根之一相重。,由表2.2知：其特解为 yp(t) = (P1t + P0)e2t,代入微分方程可得 P1e-2t = e2t ,所以P1= 1 但P0不能求得。
9、,全解为 y(t)= C1e2t + C2e3t + te2t + P0e2t = (C1+P0)e2t +C2e3t + te2t,将初始条件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ， y(0)= 2(C1+P0) 3C2+1=0,解得 C1 + P0 = 2 ,C2= 1 最后得微分方程的全解为 y(t) = 2e2t e3t + te2t , t0 上式第一项的系数C1+P0= 2，不能区分C1和P0，因而也不能区分自由响应和强迫响应。,三零输入响应和零状态响应,自由响应,强迫响应,零输入响应,零状态响应,零状态响应的齐次解,自由响应,式中,零输入响应,两种分解方式的区别：
10、,1、 自由响应与零输入响应的系数各不相同,由初始状态和激励共同确定,由初始状态确定,2、 自由响应包含了零输入响应和零状态响应中的齐次解,对于系统响应还有一种分解方式，即瞬态响应和稳态响应。所谓瞬态响应指,时，响应趋于零的那部分响应分量；而稳态响应指,时，响应不为零的那部分响应分量。,1.定义： 当激励为单位冲激函数时，系统的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用h(t)表示。,零状态,2.6 单位冲激响应,一.冲激响应,2. h(t)的求解方法,例1.描述某系统的微分方程为:,试求该系统的冲激响应h(t)。,解：由冲激响应的定义，当e(t)= 时，,试求该系统的冲激响应h(t)。,解
11、：,二、阶跃响应 1.定义,2.g(t)的求解方法,另外：,解,2.7 卷积,系统零状态响应的求解 卷积积分定义 卷积积分性质,本节通过信号分解的思想，把任意信号为冲激信号的叠加，得到线性时不变系统的零状态响应为输入信号与系统冲激响应的卷积积分。,定义：,作用于系统时的零状态响应为,一、零状态响应时域分析法,任意信号e(t)表示为冲激函数叠加.,F,定义：激励信号e(t)作用下的零状态响应为,当t0时，有,则有：,当t0时，有,由冲激响应的定义，当e(t)= 时,解法2:,二、卷积积分图解法,1.卷积定义：,2.卷积的图解法,0.5,重复第二步,重复第三步,三、卷积积分性质,(1)交换律：,(2)分配律：,(3)结合律：,(4)卷积的微分性质,(5)卷积的积分性质,(6)由4.5两性质可得,(7)函数与冲激函数的卷积,(8)函数延时后的卷积,(10)相关与卷积 相关运算定义,(9)函数与阶跃函数的卷积,例2、,解：,由微分性,延时性,解： 问：,
