第二章—维纳滤波和卡尔曼滤波课件

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1、第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 2.1维纳滤波的标准方程 2.2维纳-霍夫方程的求解 2.3维纳滤波的均方误差 2.4因果IIR维纳滤波器的设计与计算 2.5标量卡尔曼滤波器 2.6矢量卡尔曼滤波器 2.7维纳滤波和卡尔曼滤波的计算和应用 举例,第二章 维纳滤波与卡尔曼滤波,2.0 引言 在许多实际问题中，人们能够测量到的是退化了的或失真了的有用信号。例如：在传输或测量真实信号时，由于存在干扰，接受或测量 到的数据与真值不同。我们就说混有了噪声（信道噪声，测量噪声），常常是要解决从噪声中提取有用信号问题。 我们就要找一种有最佳线性过滤特性的滤波器，信号和噪声同时输入时，在输出端能尽量把信号精确复

2、现，而噪声能受到最大抑制。 维纳（Wiener)和卡尔曼(Kalman)找到了一种从噪声中提取信号的一种滤波方法。,这种线性过滤问题，可以看成一种估计问题。 表示信号 表示噪声 表示输出 称 是 的估计值。 为估计器。这种滤波器称为最佳滤波器。 如果： 和 的谱在频域上是分离的，容易设计一个线性滤波器抑制噪声并提取信号。这是本科中经典数字信号处理理论中详细讨论过的数字滤波器的设计问题。但是 和 的谱有一部分相互重叠，则问题就要复杂的多。 一般而言，这是信号的最佳估计问题，所谓“最佳”是以一定的准则来衡量的，通常有四种准则：,最大后验准则 最大似然准则 均方准则 线性均方准则 本章的维纳滤波和卡

3、尔曼滤波采用的是线性均方准则，实际上是最小均方误差准则。称为线性最小均方误差滤波。 2.1 维纳滤波的标准方程 设计维纳滤波器的过程就是寻求在最小均方误差下滤波器的单位样本响应 或传递函数 的表达式。其实就是解维纳-霍夫方程（Wiener-Hopf） 在因果性即物理可实现的条件下，求解是一个典型难题。 维纳滤波器是一个线性非移变系统,估计误差： 按最小均方误差准则 求偏导得（ 对 的导数为零） 上式称为正交方程。（这是讲当用两个矢量正交时它们的点乘等于零的关系，正交性原理可借用几何图形表示）,可见，满足正交性原理与满足最小均方误差的条件是等价的。由图知， 最满足最小均方误差的估计值。 正交方程

4、表明，任何时刻的估计误差与用于估计的所有数据（即滤波器的输入）正交。 称为维纳滤波器的标准方程维纳-霍夫方程。 如果已知 和 可求出 上式当i取不同值时，实际上对应三种情况：,用途： （1）滤波、过滤： 用当前和过去输入估计当前输出，是一个因果系统。 （2）平滑、内插： 用全部数据（过去的以及未来的）估计n时刻的信号，是非因果系统。 （3）预测、外推： 用n时刻及以前共p个数据来估计未来某时刻n-M的信号。M=1时称P阶预测。 无论哪种情况，把希望的输出信号称为期望信号，并用d(n)来表示。( ),这样维纳滤波问题一般用三个公式表示： 2.2 维纳霍夫方程的求解 维纳滤波器的设计和计算问题可以

5、归结为根据已知 和 求解维纳-霍夫方程以得到 或 。方程中求和的范围不同，其求解方法也不同。 2.2.1 FIR维纳滤波器 设： 长度为N ,则冲激响应矢量为,输入矢量 输出： 维纳霍夫方程可写为 或 其中 求逆矩阵解得,维纳-霍夫方程的矩形形式,解出： 即,用有限长 来实现维纳滤波器时（当已知 和 时），可解得满足因果组的 。 但当N大时，计算工作量大，需要知道 和 的逆运算。因此，最小均方误差准则的维纳滤波器，用有限冲激响应的FIR滤波器来实现并非有效的方法。,OPT表示“最佳”，是FIR的冲激响应。实际上，利用矩阵R的对称和Toeplitz性质，可得到一些高效算法，将在第四章介绍。 为了

6、得到维纳滤波器的输出 该式说明：维纳滤波器的输出 就是信号 在输入数据子空间 上的正交投影，它是信号的最佳设计。,利用双边Z变换求解该方程最简单：上式两端取Z变换 利用复数互频率谱 和自功率谱 可求得非因果IIR维纳滤波器的传递函数，它是一个有理函数。,2.2.2 非因果IIR维纳滤波器 非因果IIR维纳滤波器的维纳-霍夫方程为：,2.2.3 因果IIR维纳滤波器 标准方程： 直接求解决方程是困难的。在 的约束下，不能直接转入Z域求 但若注意到：如果滤波器输入是白噪声,那么： 易得： 对应的传输函数为： 这里 表示只取 在单位圆内的极点或只取 的因果部分。 利用白化x(n)的方法求wiener

7、-Hopf方程Z域解.,先引进信号模型的概念： 任何具有有理功率谱密度的随机信号都可看成是由一白色噪声 激励一物理网络所形成。 另一方面，若将x(n)作用于B(z)的逆系统1/B(n)，那么必将产生输出 ，这就是对“x(n)”的所谓“白化”处理。 由模型得知：,或： 如前所述，设计维纳滤波器的问题就是寻求在 最小条件下的最佳 问题。 由 把分解成两个串联的滤波器和 即 的输出变成了是由自噪声激励,得到的。,若已知：信号的 可求得 于是求最佳 ，变成求最佳 的问题了。 如果： 的Z变换用 表示， 代表一个因果序列，只在 时存在， 的全部极点必定在单位圆内。 由 且,是 的时间序列（ 对应的单位取

8、样响应） 对上两式作Z变换： 于是：,计算步骤如下： (1)对 进行谱分解（因式分解） (2)对 进行因果和逆因果分解 式中 为单位圆内极点构成的传函(因果),为单位圆外极点构成的传函（逆因果） (3)计算因果IIR维纳滤波器的传函数 (4)计算相应的单位冲激响应 式中围线积分是单位圆。 例子：已知,（是白噪声） （s(n)与v(n)不相关） 求因果的IIR的 解： （1） 由：,（2） 部分分式法：,2.3 维纳滤波器的均方误差 维纳滤波器在最小均方误差意义上是最佳的 其均方误差值为： 即时间差为0时的互相关值即为最小均方误差值 。,(1)在频域内计算最小均方误差： 积分围线是单位圆。 对非

9、因果IIR,（2）在时域对应FIR（一般已求得 ） 设计FIR时，需要已知 自相关和 设计IIR时，需要已知 自功率谱和 互功率谱或者说已知 和 全部的值 这就是说，设计IIR使用了更多的已知信息。即IIR比FIR具,对因果IIR,有更小的均方误差。 为什么说维纳滤波器具有从噪声中提取有用信号的能力。且比一般滤波器性能好呢？ 由 的传函看 令,2.4 因果IIR维纳滤波器的设计和计算 在实际应用中，有时已知信号处理模型和测量模型，随机信号 的模型方程为 它的测量模型 是信号模型中的白噪声激励， 是信号传输或测量中引入的加性白噪声，a和c是模值小于1的常数。现在要设计一个因果IIR维纳滤波器，对

10、 进行处理，以得到最佳估计 。,（1） 是方差等于 的白噪声，其自相关函数和功率谱分别为 其中： （2） 是方差等于 的白噪声，其自相关函数,功率谱：,功率谱：,(2) 与 不相关也与 不相关 即： 设计时，首先要求出如下几个功率谱 1.,(2) 将 进行谱分解： （3）计算 的因果部分 （4）求得因果的,把因果IIR维纳滤波器的设计步骤归纳如下： （1）根据已知参数a，c，R，Q求得正解P （2）计算维纳增益G （3）计算维纳滤波器系数f （4）将G和f值代入得到,注意：涉及两个随机信号模型（ 的模型和 的模型）。 模型中， 模型中，用方差为 的白噪声 激励传输函数为 的线性移不变系统产生输

11、出,模型为 的模型由谱分解定理确定 可看出测量模型是由噪声 引入 使得 不同于 ， 不同于 比 多出一个零点 ，这就是说如已知噪声 的存在改变了激励源 的功率。因此全极点系统 增加了一个零点。,2.5标量卡尔曼滤波器 卡尔曼滤波和维纳滤波一样都是解决以最小均方误差为准则 的最佳线性过滤问题。但是，它们解决的方法有很大差别。 维纳滤波是根据全部过去的观察数据 来估计信号的当前值，它的解是以均方误差最小条件下所得到的系统的传输函数 或单位取样响应 的形式给出的。从信号模型建立来看，是从信号与噪声的相关函数得到。 卡尔曼滤波：不需要全部过去的观察数据，它只是根据前一个估计值和最近一个观察值来估计信号

12、的当前值。,它是用状态方程和递推方法进行估计的。而它的解是以估计的形式给出的。因此，卡尔曼滤波的信号模型则是从状态方程和量测方程得到。 在讨论维纳滤波中，曾提出一个基本概念，那就是任何具有有理功率谱密度的随机信号都可看作是白色噪声通过一个线性网络所形成。由此得到维纳滤波器的信号模型。 下面推导卡尔曼过滤的模型。 维纳滤波是根据全部过去观察数据， 以LMS得到解的形式 或 卡尔曼滤波：根据前一个估计值和最近一个观察数据来估计当前值，用状态方程和递推方法估计，解是以估计值形式给出。,从信号模型建立来看： 维纳的信号模型是从信号与噪声的相关函数得到。 卡尔曼的信号模型是从状态方程和量测方程得到。 卡

13、尔曼滤波实际上只不过是维纳滤波的一种递推计算方法。 由前面， 信号模型 测量模型 因果维纳滤波器的传函数 G称为维纳增益,写出滤波器的差分方程： （1）用 代替 表示用 对 作的最佳估计。 （2）用 代替 表示用 对 作的最佳估计。 差分方程为： 由 得：,这就是因果IIR维纳滤波器的递推计算公式-卡尔曼滤 波器的标准形式。 （1）假设已知 ，对 进行预测最佳估 计值为： （2）由 ，对测量值 作预测最佳测量值 为： （3）当 到来后，将预测值 与 进行比较得到预测误差：,代表 中所含的无法预测的信息，称为新息。 （4）选择适当系数 对新息进行加权，作为预测值 的修正值，修正后得到信号的最佳估

14、计值。 相应均方误差最小： 按最小均方误差准则来求最佳修正系数 求 对 的偏导数，并令其等于零。,令： 表示信号的一步预测误差 令： 表示相应的一步预测误差功率 注意到 误差：,考虑到 与 不相关，故 解得： 看出 预测误差功率越大，最佳加权系数 就越大，也就是说当 预测误差越大表明预测越不准确，利用新息进行修正就应该越多。 均方误差：,由于 与 不相关，得到 由于利用了新息对信息预测值进行了修正，故最小均方误差比预测误差功率低一个数值 求：,得到卡尔曼递推算法。(见2.67式) 卡尔曼滤波过程实际上是获取维纳解的递推运算过程，这一过程从某个初始状态启动，经过迭代运算，最终到达稳定状态，即维纳

15、滤波状态。 设初始值： 计算 和 便成为下一轮迭代运算的已知数据。在递推运取过程中，随着迭代次数n的增加， 将逐渐下降，直到最终趋于某个稳定值 。这时 合理选择初始值问题。 都可作为初值。 的合理选择应使 最小化。 为此：,选择：应使 最小,2.6矢量卡尔曼滤波器 在实际中，常需根据观测数据同时估计若干个信号。例如q个信号， 或者估计一个高阶自回归过程。 例如：一个q阶自回归过程 对于上述两种情况，把标量卡尔曼推广到矢量，可以给分析计算带来很大方便。 2.6.1信号矢量和数据矢量 同时估计相互独立的q个一阶自回归信号，它们在n时刻的取样值分别为 。每个信号的状态方程是：,是零均值的噪声序列。它们之间可以是相关的。 构成一个q维