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1、线性代数,主讲人：XXX,考研数学线性代数基础班,1,第1讲 行列式,一、行列式的概念,1 阶行列式的定义,其中：,2,二、行列式的性质,1行列式与它的转置行列式相等,2互换行列式的两行（列），行列式变号,3,推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零,3行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数 ，等于用数乘此行 列式,推论：（1）行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到 行列式记号的外面,4,推论：（2）行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零,4如果行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两 个行列式之和，两个行列式在该行（列）分别取第一个和第
2、二个元素， 其余各行（列）都不变,注：每次只能拆开某一行（列）的元素,5,5把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数，然后加到另一行 （列）对应的元素上去，行列式的值不变,6行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘 积之和,6,（其中）,（其中）,推论：行列式某一行（列）的各元素与另一行（列）对应的元素的 代数余子式乘积之和等于零,（其中）,（其中）,7拉普拉斯定理：行列式等于某几行的所有子式与其对应的代数 余子式乘积的和,7,三、克莱姆法则,设含有,个未知数 的,个线性方程的方程组,定理：如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,8,那么，方程组,有唯一解：,其中：,推论：,
3、（1）如果线性方程组 无解或者有两个不同的解，则系数行列 式必为零.,（2）如果齐次线性方程组 有非零解，则系数行列式必为零.,9,四、重要公式,1.,2.,10,（三角行列式）,3.范德蒙行列式,11,第2讲 矩阵及其运算,一、矩阵的概念,1.矩阵：由 个数 排成 行 列的 数表，称之为 矩阵，记作：,2.几类特殊矩阵：,12,（1）方阵：矩阵 的行数和列数相等的矩阵.,（2）零矩阵：矩阵 的所有元素都是0，记作： .,（3）三角矩阵：主对角线下方的元素全为零的方阵为上三角矩 阵；主对角线上方的元素全为零的方阵为下三角矩阵,（4）对角矩阵：主对角线上元素为任意常数，而主对角线外的 元素都是零
4、的矩阵，记作：,13,（5）数量矩阵：主对角线上元素均相等的对角矩阵，记作：,（6）单位矩阵：主对角线上元素均为,的数量矩阵，记作：,（7）相等矩阵：矩阵 与 的行数和列数相同，且对应元素相等， 记作：,14,二、矩阵的运算,1.矩阵的加法：设矩阵 ， ，则 .,2.矩阵的减法：设矩阵 ， ，则 .,3.数与矩阵相乘：设矩阵 ， 是一个常数，则 .,4.矩阵与矩阵的乘法：设矩阵 ， ，则 ，,其中：,5.矩阵与矩阵乘法的运算律：,（1）结合律：,15,（2）分配律 ：,备注：,，若,，则称,为可交换矩阵，,特殊地：,.,（2）设,，则,不一定为零矩阵；,（3）设,且,，则,不一定相等；但当,且
5、,，则,.,（3）方阵的幂：,三、矩阵的转置及其运算律,16,（1）一般情况下：,1.定义：把矩阵 的行换成同序数的列得到一个新矩阵，称为矩阵 的转置，记作 .,2.矩阵转置的运算律:,3.对称矩阵：若,，则称,为对称矩阵.,4.反对称矩阵：若,，则称,为反对称矩阵,四、行列式的乘法定理,17,1.定理：设 和 是两个 阶方阵，则乘积 的行列式等于 和 两个行列式的乘积，即 .,备注：一般情况下，,2.方阵行列式的性质：,若 和 相似，则,五、逆矩阵及其运算律,18,1.定义：对于 阶矩阵 ，如果存在 阶矩阵 ，使得 ， 则称矩阵 可逆，记作： .,2.逆矩阵的运算律：,（1）,（2）,（3）
6、,（4）,（5）,（6）,（7）,19,六、转置伴随矩阵,1定义：由行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的矩阵,称为矩阵 的转置伴随矩阵记作：,2伴随矩阵的运算律：,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,20,七、分块矩阵的运算法则,1.,2.,3.,备注：各元素矩阵的加减法和乘法需满足一般矩阵的运算条件.,21,其中，,4.,其中，,5.,6.,22,7.,八、矩阵的初等变换与初等矩阵,1初等变换：下面三种变换称为矩阵的初等变换,（1）交换矩阵的两行（列），记作：,（2）以数,乘某一行（列）的所有元素，记作：,（3）某一行（列）的所有元素的,加到另一行（列）的对应,元素上，记作：
7、,23,2矩阵 与 等价：把矩阵 经过初等变换变成矩阵 ， 记作： .,3初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵,24,说明：,（1）初等矩阵的逆阵：,（3）对矩阵,进行一次初等行（列）变换，相当于,左（右）乘一个对应的初等矩阵.,25,例如：,说明：对 进行一次初等行变换相当于 左乘一个初等矩阵.,26,说明：对 进行一次初等列变换相当于 右乘一个初等矩阵.,27,4利用初等变换求逆矩阵,定理2. 方阵,可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵,，使得,.,定理3.若方阵,可逆，则,可经过有限次初等行变换化为,单位矩阵,定理1.方阵,可逆的充分必要条件是：,，即：,.,定理3的另一种形
8、式：,28,求逆阵的初等变换法：,例：已知矩阵：,，求其逆阵.,解：,29,30,因此，得到：,31,第3讲,维向量,一、,维向量的概念与运算,1.,维向量：,个数,构成的有序数组，记作：,2.向量的运算：设,与,（1）向量的加法：,（2）向量的数乘：,（3）向量的内积：,32,3.向量的长度（模）：,的充分必要条件是,二、线性组合与线性表示,1.线性组合：设向量组,，对于任意实数,，则把,称为向量组,的线性组合.,2.线性表示：设向量组,及向量,，如果存在一组实数,，使得,，则称向量,是,的线性组合,33,3.向量组等价：,设向量组,与,如果,中的每一个向量都可以由,中的向量线性表示，,同时
9、，,中的每一个向量都可以由,中的向量线性表示，,则称两向量组是等价的，记作：,三、线性相关与线性无关,1.线性相关：,对于,维向量,，如果存在一组不全为零的实数,，使得,，则称,线性相关,注意：任意一个含有零向量的向量组都是线性相关的.,34,2.线性无关：,对于,维向量,，只有在,时，才能使得,，则称,无关,线性,3.有关线性相关性的几个重要定理：,定理1.,向量组,线性相关的充分必要条件是其中某一个向,向量可以由其余,个向量线性表示,定理2.,部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关.,定理3.,设向量组,线性无关，而,线性相关，,则,可以由,线性表示，并且表示唯一,35,定理4.,如果
10、向量组,可以由向量组,线性表示，,且向量组,线性无关，则,.,推论：,（1）,如果向量组,可以由向量组,线性表示，,且,，则向量组,线性相关.,（2）两个等价的线性无关的向量组所含向量个数相等.,个,维向量的向量组一定线性相关,（3）,含有,定理5.,个,维向量构成的向量组,线性相关的充分必要条件是,36,定理6.,向量组,线性相关的充分必要条件是,四、向量组的秩,1.,极大线性无关组：,如果向量组,中的部分向量组,满足以下条件：,（1）,线性无关,（2）,向量组,中任意,个向量都线性相关,则称,是极大线性无关组.,注意：,向量组,的极大线性无关组不唯一.,37,2.向量组的秩：,向量组,的极
11、大线性无关组中所含向量的个数，称为,向量组的秩，记作：,3.向量组的秩的性质：,（1）,若向量组,可以由向量组,线性表示，则,（2）,若向量组,与,等价，则,，反之不成立；但若,可以由向量组,线性表示，且,，则向量,与,等价,向量组,组,（3）,向量组,可以由,线性表示的充分必要条件,是：,38,（4）,向量组,与,等价的充分必要条件是：,五、矩阵的秩,阶子式：,1.,在,矩阵,中任取,行,列，由交叉处的元素按原,来次序构成的,阶行列式,2.,矩阵的秩：,矩阵,中不等于零的子式的最高阶数，记作：,说明：,（1）,（2）,若,，则所有高于,阶的子式都为,的充分必要条件是：,39,3.,定理：初等
12、变换不改变矩阵的秩,4.,定理：矩阵的秩等于它行向量组的秩（行秩），也等于它列向量组,的秩（列秩）,5.,矩阵秩的性质：,（1）,（2）,（3）,若,，则,（4）,（5）,若,，则,（6）,设,是,阶矩阵，则：,40,六、施密特正交化,1.,正交：,若,，则称向量,与,正交,2.,施密特标准正交化（正交规范化）：,设,线性无关，令,则向量组,是与,等价的正交向量组.,41,再令：,，,，则向量组,是与,等价的正交单位向量组.,七、向量空间：（数学一）,1.,定义：,设,为,维向量的集合，如果集合,非空，且集合,对于向量的加法及乘数两种运算封闭，那么称集合,为向量空间,2.,基：,设,为向量空间
13、，如果向量,，且满足：,（1）,线性无关；,（2）,中任一向量都可由,线性表示.,则称向量组,为向量空间,的一个基.,42,3.,维数：基中所含向量的个数称为向量的维数，记作：,.,4.,坐标：,为向量空间,的一个基，则,设,中任一向量,可唯一的表示为：,，称,为向量,关于基,的坐标.,5.,过渡矩阵：,为向量空间,的两个基，,设,与,且有：,，则矩阵,被称为从基,到基,的过渡矩阵.,备注：过度矩阵一定可逆,43,6.,基变换：,为向量,关于基,的坐标，,设,为向量,关于基,的坐标，,则称,或,为基变换.,44,第4讲 线性方程组,一、线性方程组的概念：,含有,个未知数,个方程的线性方程组为,
14、定义：,或,其中，,或：,其中，,45,二、线性方程组解的性质：,1.,基础解系：,设,是方程组,解（向量），且满足,（1）,线性无关；,（2）,的任何一个解均可以由,线性表示；,则称,是方程组,的基础解系.,2.解的性质：,性质1.,若,，,是方程组,的两个解，则其线性组合,（,为任意常数）仍是,的解.,性质2.,若,，,是方程组,的两个解，则,是方程组,的解.,46,性质3.,若,是方程组,的解，而,是方程组,的解，,则,是方程组,的解.,性质4.,若,是方程组,的基础解系，,是方程组,的特解，则,是方程组,通解；,是方程组,的通解.,三、齐次线性方程组解的判断定理：,定理1.,元齐次线性
15、方程组,有非零解的充分必要条件是,.,定理2.,元齐次线性方程组,只有非零解的充分必要条件是,.,47,定理3.,设,，则,元齐次线性方程组,的解集,的秩,（也称为解空间的维数）.,四、非齐次线性方程组解的判断定理：,定理1.,元非齐次线性方程组,有解的充分必要条件是,系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即,.,在有解的前提下又分为：,（1）,有唯一解的充分必要条件是,；,（2）,有无穷多解的充分必要条件是,；,48,定理2.,元非齐次线性方程组,无解的充分必要条件是,系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，即,.,49,第5讲 矩阵的特征值与特征向量,一、特征值与特征向量：,定义1.,设,为,和,阶矩阵，如果存在数,维非零列向量,，使得,，则把数,称为矩阵,的特征值，非零列向量,称为矩阵,对应,的特征向量,定义2.,行列式,称为矩阵,的特征多项式，方程,，,称为矩阵,的特征方程.,二、特征值与特征向量的性质：,50,性质1.,设,阶矩阵,的特征值为,，则,，,.,性质
