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1、1,基金最佳使用计划,1、问题的提出,某校基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入 银行 或购买国库券。当前银行存款及各期国库券的利 率见下表。,假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。取款政策参考银行的现行政策。,2,校基金会计划在,年内每年用部分本息奖励优秀师生，,每年的奖金额。,请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，,并对,万元，,年给出具体结果：,1）只存款不购国库券；,2）可存款也可购国库券,3）学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆， 基金会希望这一年的奖金比其它年度多20%。,要求每年的奖金额大致相同，且在,n年末仍保留原基金,数额。,校基金会希望获得最佳的基,金使用
2、计划，以提高,3,2、问题分析,综合分析题（一）,参照存款年利率数据表可知，定期存款年限越长，存款税后年利率越大。因此，在不影响奖金发放的情况下，应尽可能存年限较长的定期存款，这样才能获得较高的利息。所以，此基金的最佳使用计划是：拿出一部分基金存入一年定期，一年后的本息全部用于发放第一年的奖金，再拿出一部分基金存入二年定期，二年后的本息全部用于发放第二年的奖金，以此类推，且每年发放奖金数额相同，最后一年存入银行的款项在发完奖金后仍然为基金总额M。,5,3 模型假设,1）每年发放奖学金一次，且均在年末发放。,2）银行发行国库券时间不固定。,3）由于近几年国库券销售市场很好，所以，国库券 可在发行
3、当日购买。,4）国库券在没有到期之前，不得进行贴现。,4模型建立,问题一：只存款不购买国库券的情况。,定理1 一定数额的资金H先存定期,年再存定期,年和先存定期k年再存定期,年，本息和相等。,6,证明：,设,分别为定期,年和,年的年利率，,则一定数额的资金H,先存定期k年再定期m年的本息和为,先存定期m年再存定期k年的本息和为,根据乘法交换律,定理1得证。,7,推论1、一定数额的资金H若把存款年限n分成j个存期，,其中,则n年后本息和与存期顺序无关。,定理2、使一定数额的资金H存储n年后本息和最大的 存款策略为,当n=1时，存定期1年；,当n=2时，存定期2年；,当n=3时，存定期3年；,当n
4、=4时，先存定期3年，然后再存定期1年；,当n=5时，存定期5年；,8,当,时，首先存储,个5年定期，,剩余年限存储情况与,时相同。,证明：,下表中用形如(I,j)的形式表示存款策略，,(I,j)表示先存i年定期，再j年定期。,9,表1 银行存款各种存款策略年均利率,10,由上表可得，任何最佳存款策略中不能存在以下的存款策略(1,1),(2,1),(2,2),(3,2)和（3,3）。,由1,2,3,5四种定期能够组成的策略（5年定期不重复） 只能有（1）,（2）,（3）,（3,1）,(5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,3,1)九种，,它们分别对应n=1到9年的最优存款策略
5、，,当,时的最佳存款策略只能是首先重复存,个定期5年，,剩余年限,只能是1、2、3、4,当,=3时，再存3年定期；,当,=4时，先存3年定期，再存1年定期。,定理2得证。,11,定理3 基金M使用n年的情况，首先把M分成n份,其中第,份基金,存款期限为,年，,那么只有当第,份基金,按最优,年后,策略存款,存款,的本息和等于当年的奖学金数,并且第n份基金按最佳存款策略存款n年后的本息和等于,原基金M与当年的奖学金数之和时，每年发放的奖学金才 能达到最多。,证明：,当n=1时，即将基金存入银行一年后的所得利息 全部用于发放奖学金，此种情况显然成立。,当,时，首先需要证明：,第一份基金,存入银行1年
6、定期，,到期后本息和正好,等于奖学金数额,即,12,下面试用反证法予以证明：,假设,，可分两种情况：,（一）假设,，那么基金,存入银行1年后，,到期本息和小于奖学金数额,为了使每年的奖学金数额尽可能相同，所差资金,只能从其它定期存款中按活期存款提前支取，,这样的,结果比按,存入一年定期（即到期,本息和正好,等于奖学金数额），,其它基金均按定期,的总利息要少。,为使奖学金数额最大，,所以,存款,13,（二）假设,，那么基金,存入银行1年，,到期后本息和大于奖学金数额,剩余资金再按最优存款策略存k年，这种情况所,得利息显然不比在开始时多余部分资金直接最优,存款策略存,年后利息多，,所以,因此,同理
7、可证， 为使奖学金数额最大，第i份基金,按最优存款策略存i年后本息和应正好等于奖学金数额。,第n份基金为,存储n年应按最佳策略存款。,14,根据问题条件，第n份基金按最优策略存n年后,所得本息和应为,定理3得证。,5模型的求解,由定理1、2及定理3可得n年的最佳存款方案公式一:,其中,表示把基金M分成n份中的第i份基金，,p为每年的奖学金数额,15,16,根据上公式可用,求得n=10年，M=5000万元时,基金使用的最佳方案：,奖学金,（万元）,17,表2,值及其存i年的最佳存款策略,18,M=5000万元，n=10年基金使用最佳方案（单位：万元）,19,M=5000万元，n=10年基金使用最
8、佳方案（单位：万元）,20,问题二的求解,我们对可购买国库券也可存款这种情况，考虑到国库券发行日期不定，若准备购买它，则一般需要等待一段时间，因为一年内至少发行一次国库券，有可能上半年发行，也有可能下半年发行，所以我们首先把准备购买国库券的资金全部按半年定期存储，如果上半年未发行国券，7月1日取出本息后再存半年定期，如果下半年的某日比如8月1日发行国库券，则取出资金购买国库券，但这部分资金未到期，只能按活期计息。,如果是购买两年国库券，则两年国库券到期， 因未到期末，肯定面对继续采取怎样的存储策略的问题，或者存定期，或者存活期，或者等待购买国库券。,21,如果等待购买国库券，因国库券发行时间未
9、定， 有可能还要等待将近一年的时间，如果准备存整 年定期，那么等到基金使用最后一年的8月1日即 可到期，剩下的5个月只能存活期。,根据定理2可得：,推论2 购买国库券时，需要存半年的定期和总共半年的活期。,一定数量的资金存储n年，存期种类相同，任意改变顺序，本息保持不变，再加上以上分析，如果准备购买两年期国库券可以这样想象：先存半年定期，再存1个月的活期，在8月1日购买两年期的国库券，两年后的8月1日取出国库券本息后，再存5个月的活期，即需要存半年的定期和总共半年的活期。,22,单位资金购买两年国库券、存入银行半年定期和 半年活期后的本息为：,这种存款策略稍劣于存入银行的三年定期，,其年利率为
10、：,同理，单位资金购买三年期国库券、存入银行 半年定期和半年活期后的本息为：,这种存储策略稍优于存入银行的四年定期，其年利率为：,23,单位资金购买五年期国库券、存入银行半年 定期和半年活期后的本息为：,这种存储策略稍优于存入银行的六年定期， 其年利率为：,在上面的分析中，因购买国库券而带来的总共半年的两次活期存款，其本息是按一次半年活期计算的它与按一次半年活期计算，其本息差别很小，可以忽略不计。,所以，可以不考虑购买两年国库券情况。,24,购买三年期国库券再加半年活期和半年定期共四年的平均年利率2.499%大于先存三年定期再存一年定期存款最大的四年平均年利率2.099%。,所以，增加一项定期
11、四年存款，其年利率为2.499%。,购买五年国库券再加半年活期和半年定期共六年的平均年利率2.852%大于先存五年定期再存一年定期存款最大的六年平均年利率2.255%.,所以，增加一项定期六年存款，其年利率为2.852%,综上分析，可购买国库券的最优银行存款税后利率如下表6-16.,25,当n=1时，因没有一年期国库券，基金只能存入银行， 基金使用方案参照问题一。,当n=2时，可以购买国库券，但由于国库券发行日期正好在1月1日的概率非常小，因此，最终国库券到期日可能在第三年的某月，这样就影响了第二年末的奖学金发放，所以，也只能把基金存入二年定期，而不购买国库券。,26,根据以上的推理，可得n年
12、的最优存储方案公式二为：,27,据上公式用,可以求得n=10年，M=5000万元时,基金使用的最优方案：（单位：万元）,每年奖学金：,28,29,问题三求解：,方案一：只存款不购买国库券,因学校要在基金到位后的第3年举行校庆，所以此年奖金应是其他年度的1.2倍，,计算公式只需把公式一、公式二中：,改为,利用,软件求解（程序略）M=5000万元，,n=10年基金使用最佳方案：（单位：万元）,30,M=5000万元，n=10年基金使最佳方案（单位：万元）,31,M=5000万元，n=10年基金使最佳方案（单位：万元）,32,方案二，既可存款又可购买国库券,当n=1,2时不涉及到校庆问题，分配方案参
13、照问题二。,当n=3时，将钱直接存入银行，分配方案参照问题一。,当n=4时，执行方案为购买三年期国库券、一个半年 定期与一个半年的活期，策略为：,33,解得：,根据以上的求解，只需将问题二最优方案中第三年的奖学金数乘以1.2即可得到本方案的最佳使用情况。,34,利用Matlab软件求解M=5000万元，n=10年基金 使用最优方案：（单位：万元）,每年奖学金：,35,6模型评价,本模型有以下优点：,模型在建立过程中充分考虑到学校基金的特殊性， 得出最佳的分配方案。,2、利用Matlab软件编程进行求解，所得结果误差小， 数据准确合理。,36,3、利用优化组合法，分组比较，得出一段年限内 最大的
14、平均利率。,4、该模型实用性强，对现实有很强的指导意义。,5、购买国库卷时，证明了发行日期对利率的影响 很小，可以忽略不计，使问题简化。,37,6.10 投资的收益和风险,一、问题提出,市场上有n种资产,（i=1,2n）可以选择，现用数 额为M的相当大的资金作一个时期的投资。这n种资产 在这一时期内购买,的平均收益率为,，风险损失率为,，投资越分散，总的风险越小，总体风险可用投资的,中最大的一个风险来度量。,购买,时要付交易费，(费率,)，当购买额不超过,时，交易费按购买,计算。另外，假定同期,，既无交易费又无风险。（,=5%）,给定值,银行存款利率是,已知n=4时相关数据如下：,38,试给该
15、公司设计一种投资组合方案，即用给定资金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，使总体风险尽可能小。,二、基本假设和符号规定,基本假设：,投资数额M相当大,为了便于计算，假设M=1；,2投资越分散，总的风险越小；,3总体风险用投资项目,中最大的一个风险来度量；,39,4n种资产,之间是相互独立的；,5在投资的这一时期内, ri,pi,qi，r0为定值，不受意外,因素影响；,6净收益和总体风险只受 ri,pi,qi影响，不受其他因素,干扰。,符号规定：,Si 第i种投资项目，如股票，债券,ri,qi,pi -分别为Si的平均收益率,交易费率，风险损失率，,ui -Si的交易定额,
16、-同期银行利率,xi -投资项目Si的资金,a -投资风险度,40,Q -总体收益,Q -总体收益的增量,三、模型的建立与分析,1.总体风险用所投资的Si中最大的一个风险来衡量,即,max qixi|i=1，2,n,2购买Si所付交易费是一个分段函数,即,pixi xiui 交易费 = piui xiui,而题目所给定的定值ui(单位:元)相对总投资M很小,piui更小,可以忽略不计,这样购买Si的净收益为(ri-pi)xi,41,3要使净收益尽可能大，总体风险尽可能小,这是一个多目标规划模型:,目标函数,MAX,MINmax qixi,约束条件,xi0 i=0,1,n,4. 模型简化：,1) 在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，若给定风险一个界限a，使最大的一个风险qixi/Ma，可找到相应的投资方案。,42,这样把多目标规划变成一个
