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1、第五章 和差 倍数问题,一、和差问题 二、和倍、差倍问题 三、年龄问题,第一节 和差问题,问题5.1.1 84,48,? 问题5.1.2 两质数之和是28、之差是6,这两质数各是多少? 问题5.1.3 某日,白天比黑夜长6小时,问这一天白天、黑夜各有几小时?,这三个题目中数量关系的共同特征是 :已知两个数的和与差,求这两个数. 类似这样的数学问题,称“和差问题” 和差问题的基本数量关系式如下: (和差)2大数 (和差)2小数,问题5.1.4 分数单位相同的甲、乙两数,相加结果为1,甲数比乙数多一个单位1/3,这两个分数各是多少?,问题5.1.5将等高不等底的两直角梯形纸板,粘接成(无重叠部分)
2、一块长5分米、宽3分米的长方形纸板.已知小梯形纸板上下底的和比大梯形上下底的和少4分米,大、小梯形两纸板面积分别是多少平方分米? 分析 :据条件知大、小两梯形上下底和的差,大、小两梯形上下底和的“和”,即为长方形的2个长,从而可分别求出大、小两梯形上、下底的和;大、小两梯形的高,就是长方形的宽.,问题5.1.6 小李和小王共储蓄2000元,如果小李借给小王200元,两人储蓄的钱恰好相等,问两人各储蓄多少元? 问题5.1.7 有1元和5元的人民币共17张,合计49元,两种面值的人民币各有多少张? 分析:假设17张人民币全是5元的,总钱数则为51785(元),比实际的49元多出854936(元).
3、多的原因是把1元的人民币假设为5元的人民币了.用数量关系式表示为:,根据这一数量关系式,可先求出1元人民币的张数:(51749) (5 1)=364=9(张) 于是可得5元人民币张数:17 9=8(张) 也可以假设17张人民币全是1元的,便可有另一解法: (49117)(51) = 8(张) 问题5.1.6与问题5.1.7的数量关系及其解答方法有什么异同? 都属和差问题,但问题5.1.6中已知或未知的数量是同类量,可运用和差问题的数量关系式求解;而问题5.1.7含三种有联系的不同类量(票面值、总值、钱的张数),且所求两数的差难以确定,解答时须通过假设分析法(从假定的条件入手分析题意),将和差问
4、题转化为“两个差问题”(利用两个相关联的差求未知数)求解.,问题5.1.8 100名师生参加植树,老师每人栽3棵,学生每2人栽1棵,总共植树100棵.问老师和学生各有多少人? 提示:可假设老师每人植树的棵树与学生同样多(学生每2人植一棵.即每人植120.5棵),或假设学生每人植树与老师每人植树同样多.,问题5.1.9 两缸金鱼共46尾,若甲缸再放入5尾,乙缸取出2尾,这时乙缸仍比甲缸多3尾,甲、乙两缸原有金鱼多少尾? 分析:这题的数量关系比较复杂,可先画线段图(图111),使其数量关系明朗化.,解法1:46+(5+2+3) 2 =(46+10)2=56 2=28(尾) 462818(尾). 答
5、:甲缸原有金鱼18尾,乙缸原有28尾.,解法2 :原题告诉甲、乙两缸放入或取出金鱼后,乙缸仍比甲缸多3尾.现在知放入或取出后,两缸金鱼尾数之和及相差数. (1)甲缸放入5尾后金鱼的尾数: (4652)3223(尾). (2)甲缸原有金鱼的尾数: 23518(尾). (3)乙缸原有金鱼的尾数:233228(尾).,第二节 和倍、差倍问题,问题5.2.1 小华和小瓜分别栽花和种瓜,一共88棵,小华栽花的棵数是小瓜种瓜棵数的3倍.小华栽了多少花?小瓜种了多少瓜? 类似问题5.2.1,已知几个数的和,及相互间的倍数关系,分别求这几个数的问题称为和倍问题.,问题5.2.2 一篮苹果比一篮梨少21个,梨的
6、数量是苹果的4倍.苹果和梨各多少个? 类似问题5.2.2,已知几个数的差,及相互间的倍数关系.分别求这几个数的问题称为差倍问题.,解答基本的(只含两数间关系)和倍、差倍问题,先确定其中一数(通常定较小数比较方便)作为标准数(1倍数),再找出两数的和(或差),及与其相对应的倍数关系,这样就可以求出这个标准数,随之即可求出另一数(较大数).,对应关系: 较小数?1倍, 较大数?几倍, (和) (和) 两数倍数 (差) (差),数量关系式:,较小数倍数较大数, 或者:,问题5.2.1,对应关系: 种瓜的棵数?1倍 栽花的棵数?3倍 棵数和88棵(31)倍,解: 88(31)22(棵) 22366(棵
7、). 答:小华栽花66棵,小瓜种瓜22棵.,问题5.2.2,对应关系: 苹果的数量?1倍 梨的数量?4倍 数量差21个(41)倍,解: 21(41)7(个), 7428(个). 答:一篮苹果7个,一篮梨28个.,1.变换表述语,问题5.2.3 甲数是乙数的10倍,两数相差72,求这两数. 问题5.2.4 大数比小数多72,把大数个位上的0去掉,则与小数同样多,大、小数各是多少? 问题5.2.5 一个数的小数点向左移动一位,比原数小72,原数是多少?,2.隐蔽性表述,问题5.2.6 两数相除,商3余4;被除数、除数、商及余数的和是43.求被除数和除数. 提示:根据被除数除数四数之和(商余数)这一
8、关系式,你知道:被除数与除数的和是多少?两数间的倍数关系是多少? 问题5.2.7 在一个等腰三角形中,顶角的度数是一个底角的2倍,顶角和底角各多少度?,3.增加情节,问题5.2.8大、小两数之差为45,大数的1/3等于小数的1/2,求这两个数。 问题5.2.9 一个体育队,男队员的1/3与女队员的1/2相等,男队员比女队员多45人。男、女队员各多少人?,解:45(32)45(人), 45290(人), 453135(人). 答:男队员有135人,女队员有90人.,4.变换情节,问题5.2.10 一块长方形的地,长是宽的2倍,周长是108米,它的面积是多少平方米? 问题5.2.11 两个物体的平
9、均重量是27千克,甲物体重量是乙物体重量的2倍,两物体各重多少千克? 问题5.2.12 修一条1.08千米长的隧道,甲、乙两队同时从两头向中间开凿,20天开通,甲队每天凿进的米数是乙队的2倍,甲、乙两队每天各开凿多少米?,观察与思考: 以上三道题的数量关系是否一样?,仅“和”间接告诉而已.各是多少?为什么? 以上三道题的变化是什么? 数量关系一致,只是题目内容运用的数学知识点不同.,5.扩展情节,问题5.2.13 甲水池有水100立方米,乙水池有水20立方米.现在以每分钟15立方米的速度,把甲池的水抽入乙水池,使乙水池水的体积是甲池水的2倍,需抽多少分钟 引导思考: 说出该题综合算式每步的意义
10、: (10020)(21)22015,6.增加数量关系,问题5.2.14 今年爸爸的年龄是小强的5倍,爷爷的年龄比小强多9倍,比爸爸大35岁.小强今年几岁? 分析:该题虽然含三数间的数量关系,但仍可以小强的年龄为1倍数.题中已告诉两数间相差数,关键是找出与其对应的倍数差:爸爸的年龄是小强的5倍,爷爷的年龄是小强的(91)倍.那么可知,爷爷的年龄比爸爸多(91)5倍.,第三节 年龄问题,每个人都有年龄,年龄里面包含着许许多多有趣的数学问题,有的问题不是那么容易解决,确实还要好好动一番脑筋.现在我们来看一下几个简单的问题: 1.小明的爸爸去年比小明大25岁,明年小明的爸爸比小明大几岁? 2.今年陈
11、老师的年龄是王芳的2倍,明年陈老师的年龄还是王芳的2倍吗? 3.前年红红和姐姐的年龄加起来正好30岁,今年红红和姐姐的年龄之和为多少岁?,这三个问题也是关于年龄问题的三个基本问题,它告诉我们以下规律: (1)两人年龄的差是不变的量; (2)两个年龄的倍数关系是变化的量; (3)每个人的年龄随着时间的增加都增加相等的量.,问题5.3.1父亲年龄是女儿的4倍,三年前父女年龄之和是49岁,问父女现在各为多少岁? 分析:因为三年前父女年龄之和为49岁,因此今年父女年龄之和就应为 493255(岁). 又因为今年父亲的年龄是女儿的4倍,所以女儿的年龄应为55(4l)11(岁). 父亲年龄为 11444(
12、岁).,问题5.3.2一家三口人,三人年龄之和是74岁,妈妈比爸爸小2岁,妈妈的年龄是儿子的4倍,问三人各是多少岁? 分析:假设爸爸同妈妈年龄一样大.那么爸爸年龄也是儿子的4倍,这时全家年龄之和为:74272(岁). 儿子年龄为: 72(441)8(岁). 妈妈年龄为: 8432(岁). 爸爸实际年龄为: 32234(岁).,问题5.3.3已知祖孙三人,祖父和父亲年龄的差与父亲和孙子年龄的差相同,祖父和孙子年龄之和为82岁,明年祖父年龄恰好等于孙子年龄的5倍,求祖孙三人各多少岁。 分析:因祖父与父亲年龄的差等于父亲和孙子年龄的差,我们作一示意图(图131).,已知祖父和孙子年龄之和为82岁,由
13、图中容易看出,祖父和孙子年龄之和恰为父亲年龄的2倍,所以父亲年龄为:822=41(岁). 又因为明年祖父年龄恰好等于孙子的5倍,而明年祖父和孙子年龄的和为82+2=84(岁),所以,明年孙子年龄为:84(5+1)=14(岁). 明年祖父年龄为: 145= 70(岁). 因此今年祖父69岁,孙子13岁.,问题5.3.4 王军父亲的年龄是王军的3倍,12年后王军的年龄是父亲的一半,问现在王军和他父亲各是多少岁? 分析:一般,甲的年龄是乙的a倍,那么n年后甲的年龄是乙的a倍少n(a-1)岁. 题目条件是王军父亲现在年龄是王军的3倍,那么12年后,王军父亲和王军年龄都增加了12岁,因此王军父亲年龄不再是王军的3倍了.由此可见12年后王军父亲年龄是王军的3倍少12(3-1)=24岁.又由已知条件12年后王军父亲是王军年龄的2倍,说明24岁就相当于1倍,也就是说王军12年后的年龄为24岁因此王军今年12岁,父亲今年36岁.,问题5.3.5 陈辉问王老师今年有多少岁,王老师说:“当我像你这么大时,你才3岁;当你像我这么大时,我已经42岁了”.你能算出王老师有多少岁吗?,分析:采用图示的方法,见图132:,王老师与陈辉年龄之差应为: (42-3)3=393=13(岁) (线段 AB). 陈辉年龄为:13+3=16(岁). 王老师年龄为:16+13=29(岁).,