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1、数值分析: 研究各类数学问题求解的数值计算及相关理论分析。 随着计算机的产生和发展,数值分析越来越多地研究如何借助于计算机求解相关问题。 计算方法: 随着计算机产生和发展而建立的一个重要数学分支,是研究建立计算机解决各种数学问题的数值计算及相关理论分析。,第一章 绪论 1.1数值分析(计算方法)介绍:,(Numerical Analysis),(Computational Method),主要内容:,(1)数值计算:非线性方程求根,(非)线性方程组求解,插值,逼近(最小二乘拟合),数值微分(积分),常微分方程,矩阵特征值求解,偏微分方程数值解, (2)理论分析:误差分析,计算过程的收敛性、稳定
2、性(数学角度上),算法的计算时间复杂度,存储容量大小(计算机角度上),特点 :,具有数学的抽象性和逻辑严密性 又具有广泛的应用性和高度的技术性(与计算机结合密切的一门课程) 使用计算机进行数值问题求解是主要研究对象。,1.2误差基本概念1.2.1误差定义及来源,真实值与观察、测量或计算的值之间存在差异,其差称为误差。 结合实际问题求解,误差来源可分为: (1). 模型误差(实际问题数学问题), 如抽象化、忽略次要因素等. (2). 观测误差(数学问题中的数据初始值观察 测量时产生),(Error),(3). 截断误差(计算过程中存在的一些无限计算),如无穷级数求和(无限次有限次: , (4).
3、 舍入误差(计算结果中存在数据无限位,如Pi,无理数有理数,) 整个误差来源可做图表示:,总结:误差是不可避免的,应尽量减少误差,提高精度(如选择好的计算方法),1.2.2绝对误差和绝对误差限,定义:设 为准确值, 是近似值 , 为绝对误差 分析: e可正可负(并不因为是绝对误差,就以为是正值) e值实际上无法知道, 不知道, 但能知道误差的某个范围(即误差限) 例:毫米刻度的尺子,正常情况下误差不超过 0.5mm.,定义:若 ,则 称为绝对误差限, 为正数,有:,1.2.3相对误差和相对误差限,为什么引入? 因为用厘米刻度的尺子测量1米长和10米长的物体,其绝对误差限都为0.5,但测量精度分
4、别为1/100和1/1000,所以为了较好反应测量精确度,引入相对误差。,定义: 为准确值, 为近似值,则,分析:,(1). 可正可负,(2).,(3). 无法知道,因为 不知道,,也可表示为,和 之间关系为:,(可作为习题),因为 无法求出,所以通常考虑相对误差限,若,或,则称 为相对误差限。,1.2.4 有效数字,当 有很多位数表示时,可按四舍五入取前几位。,定义:如果近似值 的误差限是其末位上的半个单位,且该位直到 的第一个非零数字共有n位,则 有n位有效数字。,具体计算:对 ,从左往右数,从第一个非零数字开始,直到最右面的数共有n个,且其误差限为末位的 个单位,则有效数字为n。,有效数
5、字的位数确定.,例:数0.00234711,取五位有效数字,,例: =1.732050808,若 =1.7321,,但若 =1.7320,,误差限为,则有5位有效数字,因为误差限,则只有4位有效数字,因为误差限,为0.0023471,,1.2.5误差传播影响,计算过程中(如四则运算)的初始数据误差会导致函数值误差.,泰勒级数展开分析误差传播.,设,为准确值,,准确值为,为近似值,,近似值为,先考虑绝对误差:,令,利用二元函数一阶泰勒展开公式,采用二元函数,所以:,再考虑相对误差:,根据以上两公式,可得到两数相加、减、乘、除的误差传播:,(避免绝对值很大的数为乘数),(避免 为很小的数为除数),
6、(避免两相近数相减运算),1.3 机器数系.,(略.主要防止计算机处理过程中的数字溢出和含入误差),这里,主要介绍计算机中浮点数的表示形式及 表示范围(4个参数):,其中, =0.a1a2a3at 称为尾数-1,1,中的正负号用一位数字区分;,为基数,如取2、10、8、16; p为阶数,有上限U和下限L, 由计算机存储字节长度决定。,1.4 误差危害的防止(1)使用数值稳定的计算公式,数值稳定是指计算过程中舍入误差对计算影响不大的算法, 若第n+1步的误差en+1 与第n步的误差en满足,,则称该计算公式是绝对稳定的,例:建立积分In=,(n=0,1.,20),递推关系式,并分析误差传播影响。
7、,解:,In+5In-1=,I0=,=ln6-ln5,递推式:,在计算I0时,设近似值为I0为,可设 e0=I0-,In- =,即初始误差对第n步的影响是扩大5n倍,误差范围变大, 不稳定. 对可改用另一种计算过程:,( 可通过积分第一中值定理算出),则 ,误差范围逐步减少。,即,若函数f(x)连续, g(x)在区间a,b上不变号且可积, 则有,设,(2)避免两相近数相减,例. 计算,设,和,有六位有效数字,即x1=44.7325 x2=44.7102,x1-x2=44.7325-44.7102,(可以根据需要取任意位有效数字,这里取6位),方法1:直接相减:,方法2:分子有理化:=,=0.0
8、223 (事实上只有2位有效数字),也可进行理论分析,这里考虑绝对误差:,第一种方法只有2位有效数字,理论上分析, 可以有6位有效数字,(分子为常数2, 分母为x1+x2两变量之和),(3)避免绝对值大的数作乘数,,同样,避免x2为很小的数作除数, ,(4)防止大数吃小数:,(计算机硬件发展,浮点数表示位数增加,此问题已很少出现),主要原因是计算机运算处理时,需对阶处理(即取较大的阶值运算,较小数的尾数则会变的很小,计算机浮点数表示不出来), 会出现: 大数+小数=大数 求和时,可先按绝对值从小到大排序,先对小数运算,再对大数运算。,(5)简化计算步骤,减少计算次数,例:计算,方法1:直接计算
9、30次乘法 方法2:,(这里4次乘法),(4次乘法),共8次乘法,空间上:,需存储x,x2,x4,x8,x16, 方法1只需要存储x.,例:计算,常规方法:乘法:,加法:,Horner方法(秦九韶方法):,需n次乘法,n次加法,空间上:,除了an和x, 多存储一个变量用来保存ai-1x+ai,第2章 方程求根(Non-linear equation)2.1问题提出,对方程 ,若存在 ,使得 , 则称 为 的根,或称为零点。,当,为多项式形式时,即,则,称为代数方程。,若,可写成,形式,为,的m重根,或称m重零点。,则,代数方程 的公式解,(当次数 时有),令,,原方程又可写为:,对三次方程(卡当公式):,此类方程有公式解:,其中,(有可能出现复数根) 对四次方程,可找相关文献。,对高次方程,使用数值方法求解,即在满足一定精度的前提下,求根的近似值。,具体步骤:,找到根的隔离区间,当 在 内连续,且,则 内有解;,当 在 内严格单调,则 内有唯一解。,求根精确化 找出一个根的近似值后,通过迭代方法计算, 直至近似值达到一定精度。,例1:求,的有根区间。,有根区间:0, 2内有解;,缩小区间可知: 1, 2内有解;,再继续缩小区间知: 1.5, 2内有解。,例2:求 的有根区间.,即 , e=2.71828, 可由作图知, 0, 1内有解。,