《数学人教B版选修2-2第1章111函数的平均变化率教学教案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学人教B版选修2-2第1章111函数的平均变化率教学教案(19页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、中国人民大学附属中学,1.1.1 函数的平均变化率,微积分主要与四类问题的处理相关:,一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。,例子 :,假设下图是一座山的剖面示意图,并在上面建立平面直角坐标系。A是出发点,H是山顶。爬山路线用函数y=f(x)表示。,H,假设向量 对x轴的倾斜角为,直线AB的斜率为k,容易看出,于是此人从点A爬到点B的位移可以用向量 来表示,,显然,“线段”所在直
2、线的斜率的绝对值越大,山坡越陡。这就是说,竖直位移与水平位移之比 的绝对值越大,山坡越陡;反之,山坡越平缓。,现在摆在我们面前的问题是:山路是弯曲的,怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢?,一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段,每一小段的山坡可视为平直的。例如,山坡DE可近似的看作线段DE,再用对平直山坡AB分析的方法,得到此段山路的陡峭程度可以用比值近似地刻画。,注意各小段的 是不尽相同的。但不管是哪一小段山坡,高度的平均变化都可以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之差的比值 来度量。由此我们引出函数平均变化率的概念。,平均变化率的概念:,一般地,已知函数y=f(x),x0,x1是其定义域
3、内不同的两点,记x=x1x0,y=y1y0=f(x1)f(x0)=f(x0+x)f(x0).,则当x0时,商 称作函数y=f(x)在区间x0,x0+x(或x0+x,x0)的平均变化率。,进一步理解: 1.式子中x 、y的值可正、可负,但的x值不能为0, y 的值可以为0; 2.若函数f (x)为常函数时, y=0; 3. 变式:,例1求函数y=x2在区间x0,x0+x (或x0+x,x0)的平均变化率。,解:函数y=x2在区间x0,x0+x (或x0+x,x0)的平均变化率为,由上式可以看出,当x0取定值时,x取不同的值,函数的平均变化率不同,当x取定值,x0取不同的值时,该函数的平均变化率也
4、不一样。 例如,x0取正值,并不断增大时,该函数的平均变化率也不断地增大,曲线变得越来越陡峭。,例2求函数 在区间x0,x0+x (或x0+x,x0)的平均变化率(x00,且x0+x0).,解:函数 的平均变化率为,例3已知函数f(x)=x2+x的图象上的一点A(1, 2)及临近一点B(1+x, 2+y), 则 ,3x,练习题,1.设函数y=f(x),当自变量x由x0改变到x0+x时,函数的改变量为() Af(x0+x)B f(x0)+x Cf(x0 ) x Df(x0+x) f(x0),D,2. 一质点运动的方程为s=12t2,则在一段时间1,2内的平均速度为() A4 B8 C 6 D6,C,3. 将半径为R的球加热,若球的半径增加R,则球的表面积增加S等于( ) A B C D,B,4. 在曲线y=x2+1的图象上取一点(1, 2)及附近一点(1+x , 2+y),则 为() A B C D,C,