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1、,数 学 分 析,第九章 定积分,第二节 微积分学基本公式,主讲：师建国,二、积分上限的函数及其导数,三、牛顿 莱布尼兹公式,一、引例,机动 目录 上页 下页 返回 结束,主 要 内 容,一、引例,在变速直线运动中, 已知位置函数,与速度函数,之间有关系:,物体在时间间隔,内经过的路程为,这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、积分上限的函数及其导数,则变上限函数,证:,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理1. 若,说明:,1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.,2) 变限积分求导:,同时为,通过原函数计算定积分开辟了道路
2、.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,证明,在,内为单调递增函数 .,证:,只要证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、牛顿 莱布尼兹公式,( 牛顿 - 莱布尼兹公式),机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,根据定理 1,故,因此,得,定理2.,函数 ,则,1)定理2揭示了微分与积分以及定积分与不定积分之 间的内在联系，称为微积分学基本定理。,4)一定要注意公式的条件,否则计算会发生错误。 如：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2)关于f(x)连续性的条件可以减弱为可积性。,3)用定理2求定积分有一定的局限性。,说明：,例2. 计算正弦曲线,的面积 .,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,则有,1. 微积分基本公式,积分中值定理,微分中值定理,牛顿 莱布尼兹公式,2. 变限积分求导公式,公式 目录 上页 下页 返回 结束,作业,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,P309 2; 3 ; 4 (1) , (2) , (3) ; 5,谢谢,
