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1、概率论与数理统计,第一节 一维随机变量 及其分布(3),五、连续型随机变量,六、典型的连续型 随机变量及其分布,五、连续型随机变量,定义 对于随机变量X，若存在非负可积函,则称X为连续型随机变量,且称p(x) 为密度函,注 此定义中涉及三个名词: 连续型随机变量,1.连续型随机变量及其密度函数,数 p(x) ( xR), 使得X 的分布函数,数,或概率密度.,密度函数,分布函数.,设X为连续型随机变量, p(x) 为X的密度函数,(1),(2),(3),(4),F(x)为X的分布函数 ,则,2.密度函数的性质,前3个性质显然成立,下面只给出第4个,性质的证明,证,为什么等于零？ 变上（下）限积
2、分连续,1 性质4说明对于任意可能值c ,连续型随机,2,连续型随机变量的概率与区间的开闭无关,A = ,A = ,3,注,变量取 c 的概率等于零.,设随机变量 X 的概率密度为,例 1,解,六、典型的连续型随机变量的分布,1.均匀分布,(1) 定义,分布函数为:,(2) 均匀分布的性质,设随机变量 X 在 2, 5 上服从均匀分布, 现,X 的分布密度函数为,设 A 表示“对 X 的观测值大于 3”,解,即 A= X 3 .,例2,对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值,大于3 的概率.,因而有,设Y 表示对 X进行3次独立观测中, 观测值大于,则,3的次数,(1)定义,相应的分
3、布函数为:,2.正态分布(高斯分布),(2) 正态概率密度函数的特性,正态分布的应用:,正态分布是概率论中最重要的分布, 例如测量误差,随机噪声, 学生成绩,产品的尺寸等, 大量的随机现象可以用正态分布描述.,正态分布与标准正态分布的关系:,标准正态分布的性质:,1),2),可得,3),4),5),解,例4,解,例3,解,本例给出了当随机变量X服从正态分布,例5,时, 如果我们要计算关于它的概率问题,则 可以转化为标准正态分布进行计算.,相应的分布函数为,3.指数分布,定义,指数分布也是常用分布之一,常用它来描,述各种“寿命”问题,如电子元器件的寿命,生物,的寿命.,设某类日光灯管的使用寿命
4、X 服从参数为,X 的分布函数为,解,=1/2000的指数分布(单位:小时),(1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以,上的概率.,(2)有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以,上,求还能使用1000小时以上的概率.,例6,指数分布的重要性质 : “无记忆性”.,内容小结,2. 常见连续型随机变量的分布,再见,解,例1-1,备用题,例1-2,设,(2) 若是X的密度函数,求出X的分布函数.,解,综上所述,或,例 2-1,有实根的概率.,则有实根的概率为,解,例 5-1,某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制), 服从正态分布，平均成绩为 72分，96分以上占考生总数的2
5、.3%, 试求考生的外语成绩在 60分至 84分之间的概率.,解,依题意，考生外语成绩 X,查表，知,查表，得,例5-2,解,例5-3,公共汽车车门的高度是按成年男子与门楣,碰头的概率不大于0.01设计的,设成年男子身高(单,解,所以,车门最低高度应为184厘米.,例5-4,从甲地飞往乙地的航班,每天上午10:10起,飞,飞行时间X服从均值是4h,标准差是20min的正,态分布.,(1) 该机在下午2:30以后到达乙地的概率是多少?,(2) 该机在下午2:20以前到达乙地的概率是多少?,(3) 该机在下午1:50至2:30之间到达乙地的概率是,多少?,解,(1) 所求概率为,(2) 所求概率为,(3) 所求概率为,例6-1,某仪器装有3支独立工作的同型号电子元,件,其寿命(单位:h)都服从同一指数分布,密度函数,为,试求在仪器使用的最初200h内,至少有一个电子元,解,
