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1、第五节 函数展成幂级数 教学重点:泰勒级数 麦克劳林级数 直接法 间接法 教学难点:直接法 间接法,一 泰勒(Taylor)级数,二 幂级数在近似计算中的应用,函数展开成幂级数,前面研究的是幂级数的收敛域及和函数,现在反过 来,某个函数是否可以在某个区间内用幂级数表示,一. 泰勒级数,第三章研究过泰勒公式:,其中f(x) 在 的某邻域内具有n+1阶导数.,余项,此时, f(x)可以用前n+1项近似表示,误差为,由此引入泰勒级数:,1. 定义,若f(x)在 的某邻域内具有各阶导数,则,f(x)在 的泰勒级数,泰勒系数,麦克劳林级数,证,必要性,充分性,7/24,二. 函数展开成幂级数,主要研究函
2、数如何展开成 x 的幂级数.,麦克劳林级数,1. 直接展开法,(1) 求出,如果某阶导数不存 在,说明不能展开,(2) 求出,(3),求出收敛半径R,例 将函数展开成 x 的幂级数,收敛半径,有限,趋于零,因为 收敛,所以,(循环),收敛半径,所以,牛顿二项式级数,注: 1时,展式在 x =1成立;,0时,展式在 x = 1成立.,2.间接展开法,利用已知的基本展开式和幂级数的性质,(1).逐项积分,逐项求导法,(2)变量替换法,(3)四则运算法,例 将函数展开成 x 的幂级数,作变量替换,（5） 将 展成x的幂级数。 解 因 而,（6） 将 的幂级数。 解 所以,(7) 将 分别展开成 x 的及 x1 的幂级数,(8) 将 展开成 x1的幂级数,(9),解,19/24,(10),解,20/24,(11),解,21/24,(12),解,22/24,(13),解,23/24,常用的麦克劳林展式（记住）:,17/24,二项式展开式,*注:,18/24,练习,二 幂级数在近似计算中的应用 由公式可知，在收敛域上，f(x)可展成 易知f(x)等于前n项构成的多项式 ，所以通过求多项式的值，就可得到的f(x)近似值。,例9 求 的近似值，误差不超过 。 解 因为 ，得,若取前两项，得 此时，交错级数的误差 即,
