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1、第九章 平面解析几何,高考文数,9.2点、直线、圆的位置关系,考点一点与直线、直线与直线的位置关系 1.两直线的位置关系,2.点、直线间的距离 (1)已知点P的坐标为(x0,y0),直线l的方程是Ax+By+C=0,则点P到l的距离d,=. (2)设两条平行直线l1:Ax+By+C=0,l2:Ax+By+D=0,且DC,则l1与l2间的距离d=.,考点二点、直线、圆的位置关系 1.点与圆的位置关系 设点P到圆心的距离为d,圆的半径为r,点P在圆外dr;点P在圆上d=r;点P在圆内d0),d为圆心(a,b)到直线l的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程根的判别式为.,3.计算直线被
2、圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成的直角三角形计算. (2)代数方法 运用根与系数的关系及弦长公式计算: |AB|=|xA-xB|=. 说明:圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法. 4.两圆的位置关系的判定 设圆O1的方程为(x-a1)2+(y-b1)2=R2(R0),圆O2的方程为(x-a2)2+(y-b2)2=r2(r0),其中Rr.,拓展延伸 1.常见直线系方程 (1)过定点(x1,y1)的直线系方程为A(x-x1)+B(y-y1)=0(A2+B20),还可以表示为y-y1=k(x-x1)和x=x1. (2)平行于直线Ax+By+
3、C=0的直线系方程为Ax+By+=0(C). (3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程为Bx-Ay+=0. (4)过两条已知直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(其中不包括直线A2x+B2y+C2=0). 2.常见的圆系方程 (1)同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),其中a,b是定值,r是参数. (2)半径相等的圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),其中r是定值,a,b是参数.,(3)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程:x2+y2
4、+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0(R). (4)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1)(其中不含圆C2,因此注意检验圆C2是否满足题意,以防丢解). 3.与圆的切线有关的结论 (1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0 x+y0y=r2; (2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2; (3)过圆x2+y2=r2外一点P(x0,y
5、0)作圆的两条切线,切点为A,B,则过A、B两点的直线方程为x0 x+y0y=r2;,(4)过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)外一点P(x0,y0)引圆的切线,切点为T,则切线长为|PT|=. 4.求两圆公共弦所在直线的方程的方法 (1)联立两圆方程,通过解方程组求出两交点坐标,再利用两点式求出直线方程; (2)将两圆的方程相减得到的方程就是所求的直线的方程. 注意应用上述两种方法的前提是两圆必须相交.,求解与两直线位置关系有关问题的方法 1.判断两直线位置关系的技巧:一是讨论直线的斜率是否存在,二是在斜率相等时,注意对两直线重合的讨论.解答这类问题时要根据直线方程中的系
6、数进行分类讨论,求出结果后再代入直线方程中进行检验,这样能有效地避免错误. 2.求与已知直线的交点有关问题的方法:先求出两直线交点,将问题转化为过定点的直线,然后再利用其他条件求解;运用两直线交点的直线系方程,设出方程后再利用其他条件求解.,方法技巧,例1(2017豫北名校10月联考,5)已知直线l的倾斜角为,直线l1经过点 A(3,2),B(m,-1),且l1与l垂直,直线l2:2x+ny+1=0与直线l1平行,则mn的值为(C) A.4B.8C.12D.-12,解析由题意知l的斜率为1,则l1的斜率为-1,即kAB=-1,m=6, 由l1l2,得-=-1(n0),n=2(经检验,满足题意)
7、. mn=62=12,故选C.,例2(2017安徽池州月考,14)已知b0,直线(b2+1)x+ay+2=0与直线x-b2y-1=0互相垂直,则ab的最小值等于.,解题导引根据题意利用斜率之间的关系列出等式整理出关于 ab的表达式求最小值,解析由题意知a0.直线(b2+1)x+ay+2=0与直线x-b2y-1=0互相垂直,-=-1, 则ab=,由b0得a0,故ab=2,当且仅当b=1时取等号, ab的最小值等于2.,答案2,与圆有关的最值问题的求解方法 1.研究与圆有关的最值问题时,可借助圆的性质,利用数形结合方法求解. 2.与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型:形如=形式的 最值问题,可
8、转化为动直线斜率的最值问题;形如m=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;形如n=(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. 例3已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0. (1)求的最大值和最小值; (2)求y-x的最大值和最小值;,(3)求x2+y2的最大值和最小值.,解题导引 (1)令=k,得y=kx直线与圆相切时k取最值得出的最值 (2)令b=y-x,得y=x+b求直线y=x+b的纵截距的最值得出y-x 的最值 (3)x2+y2表示圆上点与原点距离的平方利用平面几何知识 求得x2+y2的最值,解析(1)原方程化为(x-2
9、)2+y2=3,表示以点(2,0)为圆心,为半径的圆. 设=k,则y=kx,当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最值,此时有=, 解得k=,故的最大值为,最小值为-. (2)设y-x=b,则y=x+b,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最值,此时=,解得b=-2.所以y-x的最大值为-2+,最小值为-2-. (3)x2+y2表示圆上一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在过原点与圆心的直线和圆的两个交点处取得最值. 又圆心到原点的距离为2, 所以x2+y2的最大值是(2+)2=7+4, x2+y2的最小值是(2-)2=7-4.,直线与圆、圆与圆位置关系的判断方法 1.判断直线与圆的位置关
10、系的方法:代数法:将直线方程与圆的方程联立得方程组,再将方程组转化为一元二次方程,由该方程解的情况判断直线与圆的位置关系,这种方法具有一般性,适合判断直线与圆锥曲线的位置关系,但是计算量较大;几何法:圆心到直线的距离与圆的半径比较大小,即可判断直线与圆的位置关系,这种方法计算量较小,但只能用于圆的问题中. 2.圆与圆的位置关系,由交点个数,也就是利用方程组解的个数来判断,有时得不到确切的结论,通常还是从两圆的圆心距d与两圆的半径和、差的关系入手进行判断.,例4(2017河北衡水中学调研考试,5)已知向量a=(2cos ,2sin ),b= (3cos ,3sin ),若a与b的夹角为120,则
11、直线6xcos -6ysin +1=0与圆 (x-cos )2+(y+sin )2=1的位置关系是(A) A.相交且不过圆心B.相交且过圆心 C.相切 D.相离,解题导引求得圆心到直线的距离, 并与半径作比较结论,解析由题意可得ab=6cos cos +6sin sin =|a|b|cos 120=23=-3,所以圆心(cos ,-sin )到直线6xcos -6ysin +1=0的距离d= =1,故直线与圆的位置关系是相交 且不过圆心,故选A.,例5(2016山东,7,5分)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a0)截直线x+y=0所得线段的长度是2.则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=
12、1的位置关系是(B) A.内切B.相交 C.外切D.相离,解题导引 由弦长得出a的值计算两圆圆心距比较大小得出结论,解析由题意知圆M的圆心为(0,a),半径R=a,因为圆M截直线x+y=0所得线段的长度为2,所以圆心M到直线x+y=0的距离d=(a0), 解得a=2,又知圆N的圆心为(1,1),半径r=1,所以|MN|=,则R-rR+r, 所以两圆的位置关系为相交,故选B.,求解与圆有关的切线和弦长问题的方法 1.求过圆上一点(x0,y0)的切线方程的方法:先求切点和圆心连线的斜率k(假设斜率存在,且不为零),由垂直关系知切线斜率为-,由点斜式方程 可求切线方程;若切线斜率不存在(此时k=0)
13、,则切线的方程为x=x0;若切点和圆心连线的斜率不存在,则切线方程为y=y0. 2.求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程的方法:几何法:当斜率存在时,设斜率为k,切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y+y0-kx0=0,由圆心到直线的距离等于半径,即可得到k的值,从而可得切线方程,当切线斜率不存在时,切线的方程为x=x0;代数法:当斜率存在时,设斜率为k,切线方程为y-y0= k(x-x0),即y=kx-kx0+y0,代入圆的方程,得到一个关于x的一元二次方程,由=0,求得k值,从而得到切线方程,当切线斜率不存在时,切线的方程为x=x0.,3.圆的弦长的求法:几何法:设圆的半径为r
14、,弦心距为d,弦长为L,则=r2-d2;代数法:设直线与圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,方程组 消去y后得到一个关于x的一元二次方程,从而求得x 1+x2,x1x2,则弦长|AB|=(k为直线的斜率). 例6(2015重庆,12,5分)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为.,解题导引 求圆的方程利用切线的性质列出等量关系式写出切线方程,解析设圆的方程为x2+y2=r2,将P的坐标代入圆的方程,得r2=5,故圆的方程为x2+y2=5. 设该圆在点P处的切线上的任意一点为M(x,y),则=(x-1,y-2).由 (O为坐标原点),得=0,即1(x-1
15、)+2(y-2)=0,即x+2y-5=0.,答案x+2y-5=0,例7(2016课标全国,15,5分)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为.,解题导引用a表示出圆心C到直线AB的距离d利用r2=d2+ 构造关于a的方程求a2,确定r2的值,从而得面积,解析把圆C的方程化为x2+(y-a)2=2+a2,则圆心为(0,a),半径r=.圆 心到直线x-y+2a=0的距离d=.由r2=d2+,得a2+2=+3,解得a2= 2,则r2=4,所以圆的面积S=r2=4.,答案4 评析 本题考查了直线与圆的位置关系,考查了圆的方程和点到 直线的距离公式,利用弦长的一半,圆心到直线的距离及半径构成的直角三角形求解是关键.,
