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1、专题八 立体几何,目 录 CONTENTS,考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积,必备知识 全面把握,核心方法 重点突破,考法例析 成就能力,必备知识 全面把握,考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积,1空间几何体的结构特征,(1)多面体的结构特征,(1)多面体是由平面多边形围成的，不是由圆面或其他曲面围成的，也不是由空间多边形围成的 (2)我们所说的多面体包括它内部的部分，故多面体是一个“封闭”的几何体,(2)旋转体的结构特征,考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积,(1)圆柱、圆锥、圆台和球的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形和圆，处理旋转体的有关问题常通过作出轴截面分析 (2
2、)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形和扇环，处理旋转体侧面上两点间的最小距离问题时常用“空间问题平面化”的思想,2中心投影与平行投影,(1)投影、投影线和投影面 由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影其中，形成投影的光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面,在立体几何中，投影是光线(投影线)通过物体向选定的面(投影面)投射，并在该面上得到图形的一种方法,(2)中心投影 中心投影的定义 光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影. 中心投影的实质是一个点光源把一个物体照射到一个平面上，这个物体的影子就是它在这个平面上的中心投影 中心投影的性质
3、a.中心投影的投影线交于一点. b点光源距物体越近，投影形成的影子越大,考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积,7,(3)平行投影 平行投影的定义 在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影在平行投影中，当投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影,平行投影的性质 a平行投影的投影线互相平行 b. 线段的平行投影是线段或点. c平行于投影面的平行直线的平行投影是平行或重合的直线 d平行于投影面的线段，它的正投影与这条线段平行且相等 e与投影面平行的平面图形，它的正投影与这个图形全等,中心投影主要用于绘画，而平行投影主要用于工程制图，且在作平行投影时，必须给出投影线的方向,考点一 空间
4、几何体的三视图、表面积与体积,(4)平行投影与中心投影的区别与联系 联系：都是在光的照射下形成的投影，都具备投影的三要素：投影线、不透明物体和投影面 区别：平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线交于一点(常称为投影中心)在平行投影之下，与投影面平行的平面图形的投影与这个平面图形的形状和大小完全相同；在中心投影之下，随着投影中心距离物体的远近，形成的影子大小会有所不同，但形状具有相似性,考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积,3直观图与三视图,(1)直观图与斜二测画法 用来表示空间几何体的平面图形叫做空间几何体的直观图我们经常用斜二测画法画出几何体的直观图 斜二测画法是一种特殊的平行投影画
5、法,用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤： 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x轴与y轴，两轴交于点O，且使xOy45(或135)，它们确定的平面表示水平面 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段 已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半 擦去作为辅助线的坐标轴，就得到原图形的直观图,考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积,10,(1)此种画法由于建立的坐标系xOy中xOy45(或135)，故称为斜二测画法 (2)斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形
6、位置与形状的点并在直观图中画出 (3)斜二测画法得到的直观图中：相互平行的线段仍然相互平行；平行于x轴的线段平行于x轴，平行于y轴的线段平行于y轴；平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半，可简记为“横不变，纵减半” (4)关于水平放置的圆的直观图，常用正等测画法在实际画水平放置的圆的直观图时，通常使用椭圆模板,考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积,3直观图与三视图,11,(2)视图、三视图 视图 将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图，称为视图,三视图 光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正(主)视图 光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投
7、影图叫做几何体的侧(左)视图 光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图如图是一个长方体的三视图,考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积,12,(3)三视图的画法规则 排列规则：侧视图在正视图右边，俯视图在正视图下边 画法规则： a正视图与俯视图的长度一致，即“长对正”； b侧视图与正视图的高度一致，即“高平齐”； c俯视图与侧视图的宽度一致，即“宽相等” 图(1)中物体的三视图如图(2)所示,考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积,13,线条的规则要求： a能看见的轮廓线和棱用实线表示； b不能看见的轮廓线和棱用虚线
8、表示,(1)同一物体放置的方向不同，所画的三视图可能不同 (2)对于简单组合体，应先观察它是由哪几个基本几何体组成的，要特别注意它们的交线位置,考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积,14,4空间几何体的面积,考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积,15,(1)求柱体表面积的方法 直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积；表面积等于它的侧面积与上、下两个底面的面积之和 求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法；二是公式法所谓定义法就是利用侧面积为各侧面面积之和来求，公式法即直接用公式求解 求圆柱的表面积只需利用公式即可求解,(2)求锥体的表面积的方法 求棱锥表面积的一般方法：定义法 求圆
9、锥表面积的一般方法：公式法，即S表(rl),考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积,16,5空间几何体的体积,考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积,17,核心方法 重点突破,方法1 有关空间几何体的结构特征解法,1要想真正把握几何体的结构特征，必须多角度、全方位地去分析，多观察实物，提高空间想象能力 2判断与几何体有关的命题的真假，要熟悉各种空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，再进行判断 3通过反例对几何体的结构特征进行辨析，即要证明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可,考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积,1
10、8,下列命题中正确的是() A以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥 B有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C将一个矩形(包括其内部)沿竖直方向平移一段距离，运动的轨迹是 一个长方体 D棱台各侧棱的延长线交于一点,【解析】以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可得到圆锥，故A不正确；如图，平面ABC平面A1B1C1，但图中的几何体每相邻两个四边形的公共边并不都互相平行，故不是棱柱，B不正确；当矩形(包括其内部)水平放置时，沿竖直方向平移一段距离，运动的轨迹是一个长方体，当矩形(包括其内部)不是水平放置时，沿竖直方向平移一段距离，运动的轨迹不是长方体，故
11、C不正确；棱台是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥得到的，其各侧棱的延长线必交于一点，故D正确,【答案】D,考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积,19,安徽“江南十校”2018综合素质检测已知长方体ABCDA1B1C1D1中， AA1AB2AD2，E，F分别为棱BB1，D1C1的中点，直线CD1被四面体CC1EF外接球截得的线段长为_,考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积,20,考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积,已知正四棱锥的高为 ，侧棱长为 ，求斜高,21,已知圆锥的底面半径为1 cm，高为 cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长,考点一 空间几何体的三视图、表面
12、积与体积,22,方法2 有关空间几何体的三视图与直观图解法,1根据几何体确认三视图的方法： (1)由实物图判断三视图，可按照“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”的特点判断；(2)对于简单组合体的三视图，首先要确认正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别要注意它们的交线的位置 2利用斜二测画法画直观图时，要弄清画图规则，顺利实现原图形与直观图的线段的转化,考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积,23,若某几何体的三视图如图，则这个几何体的直观图可以是(),【解析】用排除法A，B的正视图不符合要求，C的俯视图不符合要求，故选D.,【答案】D,考点一 空
13、间几何体的三视图、表面积与体积,24,江西南昌2018一模已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示，图中网格是单位正方形，那么组合体的侧视图的面积为(),【解析】由正视图和俯视图可得组合体中圆台的上底面、下底面半径分别是1和2，高为2，正三棱锥的高为2、底面边长为，所以该组合体的侧视图由一个等腰梯形和一个三角形构成，如图等腰梯形的,【答案】B,考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积,25,如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6 cm，OC2 cm，则原图形是(),A正方形 B矩形 C菱形 D一般的平行四边形,【答案】C,考点一 空间几何体的三视图、表面积与体
14、积,26,方法3 空间几何体的表面积与体积的解法,求空间几何体的表面积或体积的常用方法： (1)公式法对于规则几何体的表面积或体积问题，可以直接利用公式进行求解,(3)等体积法一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来求锥体的体积，特别是三棱锥的体积,(2)割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，然后进行计算,考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积,27,广西2018教学
15、质量检测联考(二)某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为(),【答案】C,考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积,28,湖南、江西十四校2018第一次联考已知一个棱长为2(单位：cm)的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(),【答案】D,考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积,29,正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积为780 cm2，求其体积,考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积,30,方法4 组合体的计算问题解法,解决组合体的计算问题，首先要将组合体分解为若干个简单几何体，再利用相应几何体的表面积
16、或体积公式求解,安徽合肥2018第一次教学质量检测如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为(),A518 B618 C86 D106,【解析】由几何体的三视图可得该几何体是半个圆柱和两个半球构成的组合体，圆柱的底面半径、球的半径都是1，圆柱的高是3，所以该几何体的表面积是432386.故选C.,【答案】C,考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积,31,江西临川一中2018期末如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的 体积为(),A. B27 C26 D28,【答案】A,考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积,32,如图，在四边形ABCD中，DAB90，ADC135，AB5，CD2，AD2，求四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积及体积,考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积,33,方法5 球与几何体的切、接问题以及球的体积和表面积解法,有关几何体的外接球、内切球的计算问题的常见思路： 与球有关的组合体问题有两种：一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位
