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1、第四章 弯曲,主要内容:,1.弯曲的概念和实例,2.剪力和弯矩,3.剪力图和弯矩图,4.纯弯曲时梁横截面上的正应力,5.惯性矩的计算,6.弯曲正应力的强度条件,7.梁弯曲时的切应力,8.弯曲变形,9.提高梁弯曲强度和刚度的措施,第一节 弯曲的概念和实例,工 程 实 例,车间桁吊大梁,镗刀杆,工 程 实 例,车削工件,工 程 实 例,工 程 实 例,火车轮轴,工 程 实 例,力偶,力偶矩矢:,与杆件的轴线垂直。,弯曲变形的受力特点,外力的作用线与杆件的轴线垂直;,力偶矩矢:,与杆件的轴线垂直。,以弯曲变形为主的杆件。,弯曲变形的变形特点,轴线由直线变为曲线;,梁:,对称弯曲,条件:,所有的载荷作
2、用在纵向对称面内;,结果:,梁的轴线,是纵向对称面内的一条平面曲线。,对称弯曲的条件,具有纵向对称面;,外力都作用在纵向对称面内;,梁的轴线变成对称面内的一条平面曲线。,常见构件的纵向对称面,形心主惯性轴,集中载荷,分布载荷,集中力偶,受弯杆的简化,1、梁本身的简化,以轴线代替;,2、载荷的简化,集中载荷与均布载荷实例,分布载荷实例,线形分布载荷;,力偶实例,力偶矩矢:,与杆件的轴线垂直。,固定铰支座,3、支座简化,活动铰支座,支座简化,固定端,支座简化,简支梁:一端为活动铰 链支座,另一端为固定 铰链支座。,梁的类型,外伸梁:一端或两端伸出支座之外的简支梁。,悬臂梁:一端为固定端,另一端为自
3、由端的梁。,4、梁的基本形式,简支梁,悬臂梁,梁的基本形式,镗缸轴,弯曲(悬臂梁)加扭转,塔设备受风载荷,地基固定, 简化为悬臂梁,钢轨约束,外伸梁,梁的基本形式,卧式容器,内部充满介质和零部件,简化为外伸梁,梁的其他横截面形式,简支梁,外伸梁,悬臂梁,静定梁的基本形式,有内力,约束反力,静力学平衡方程解决,FAy,FN,FS,M,第二节 剪力和弯矩,FAy,FBy,一、弯曲变形时横截面的内力,FBy,M,FN,FS,与横截面相切的分布内力系的合力;,与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩。,FS,剪力:,M,弯矩:,/A,(由外力引起),(外力和外力偶都能引起),二、内力的大小,FS,M,FAy
4、,FBy,M,FS,1、剪力大小=,截面一侧所有外力的代数和。,内力的大小,FS,M,FAy,FBy,M,FS,2、弯矩大小=,截面一侧所有外力对,求内力的截面形心之矩的代数和。,FAy,FS,M,FBy,FS,M,剪力对所取的一段梁上任意一点的矩为顺时针转向时,剪力为正;,左上,三、内力的符号,1、剪力的符号约定,实用的方向约定,右下,的外力产生正剪力;,使梁呈下凸时弯矩为正;,+,_,2、弯矩的符号约定,左顺,弯矩符号的实用约定,所有向上的外力,产生正弯矩;,右逆的,外力偶产生正弯矩;,例1 求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。,FB,q=12kN/m,解: 1、求支反力,2、
5、计算1-1截面的内力,3、计算2-2截面的内力,目录,1. 确定支反力,FAy,FBy,2. 用截面法求内力,FS,ME,FAy,第三节 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图,一、内力方程:,任意截面处的内力表示为截面位置的函数;,梁截面上的剪力和弯矩随截面位置的不同而变化。 利用剪力图和弯矩图很容易确定梁的最大剪力和最大弯矩,以及梁危险截面的位置 是梁的强度和刚度计算中的重要环节,F,C,l,写内力方程,并画内力图,例2、简支梁受集中载荷作用,(1)确定约束力,FBY,FAY,FAyFb/l,FByFa/l,x1,AC段,x2,l-x2,FBY,CB段,(2)写内力方程,外力规律发生变化的截面
6、,控制截面:,集中力作用点、,外力偶作用面、,分布载荷的起点、,终点等。,AC,CB,(3). 作内力图,危险截面位置,集中力作用点的左或右侧截面,a 建立坐标系,b 确定控制截面,c 作图,仔细观察内力图的特点,写内力方程时注意事项,3、x截面处必须是任意截面;,4、x截面处必须是远离外力的作用点;,5、写出x截面处的内力就是内力方程,,同时确定定义域。,1、必须分段列写梁的剪力方程和弯矩方程;,2、各段的分界点为各段梁的控制截面。,q,l,写内力方程,并作内力图,例3、悬臂梁上作用均布载荷,二、内力图,危险截面位置,固定端截面处;,1885年,俄国人别斯帕罗夫开始使用弯矩图;,被认为是历史
7、上第一个使用弯矩图的人,a 建立坐标系,b 确定控制截面,c 作图,仔细观察内力图的特点,例4、简支梁受均布载荷作用,写内力方程,并作内力图。,(1)确定约束反力,FAy ql/2,FBy ql/2,(2)写内力方程,l,FBY,FAY,(3)、作内力图,危险截面位置,跨度中点。,a 建立坐标系,b 确定控制截面,c 作图,a/2,仔细观察内力图的特点,例4、简支梁受集中力偶作用,(1)确定约束反力,FAyM / l,(2)写出内力方程,x2,x1,l,FAY,FBy M / l,FBY,写内力方程,作内力图,(3). 画内力图,a 建立坐标系,b 确定控制截面,c 作图,仔细观察内力图的特点
8、,例5:悬臂梁受力如图所示。写梁的剪力方程和弯矩方程, 作出梁的剪力图和弯矩图,1、列出梁的剪力方程和弯矩方程,AB段:,P,BC段:,x,x,a 建立坐标系,b 确定控制截面,c 作图,仔细观察内力图的特点,-P,Pa,总结1,1、简支梁的两端,悬臂梁的自由端:,剪力的大小,=集中力的大小;,剪力的方向:,左上右下为正,如果没有外力偶矩时,,弯矩恒等于零;,弯矩大小,有外力偶矩时,,弯矩外力偶矩的大小,弯矩方向:,满足左顺右逆。,总结2,2、梁上没有均布载荷时:,剪力的图,水平;,斜直线;,且剪力大于零时,,弯矩图,弯矩图上升;,剪力小于零时,,弯矩图下降;,总结3,3、有均布载荷的一段梁内
9、,剪力图,斜直线;,曲线,,弯矩图,且均布载荷向上,剪力图上升;,均布载荷向下,剪力图下降;,且均布载荷向上,弯矩图下凸;,弯矩图上凸;,均布载荷向下,下雨天撑伞,总结4,4、集中力的作用点处,剪力图,突变;,突变量,=集中力的大小;,突变的方向,顺集中力的方向,弯矩图,发生转折。,总结5、6,5、剪力连续变化,过零点:,弯矩取得极值;,6、集中力偶处,剪力图,不变;,弯矩图,突变;,突变量,=外力偶矩的大小;,突变的方向,从左向右画,顺时针的外力偶引起弯矩图的上突;,总结7,7、剪力=0的一段梁内,,弯矩保持为常量;,载荷集度、剪力和弯矩间的关系,载荷集度、剪力和弯矩关系:,q(x),dx,
10、Fs(x),Fs(x)+ dFs(x),M(x)+dM(x),M(x),载荷集度、剪力和弯矩关系:,1、q(x)0:,2、q常数,,3、 剪力Fs=0处,,M(x) 为 x 的一次函数,,Fs=常数, 剪力图为直线;,弯矩图为斜直线。,Fs(x) 为 x 的一次函数,,M(x) 为 x 的二次函数,,分布载荷向上(q 0),,分布载荷向下(q 0),,剪力图为斜直线;,弯矩图为抛物线。,抛物线呈凹弧;,抛物线呈凸弧;,下凸。,上凸。,弯矩取极值。,左右两侧剪力变号,4、梁上作用集中力时,集中力作用处,,剪力图突变,,突变量等于集中力的大小。,弯矩图发生转折。,5、梁上作用集中力偶时,集中力偶作
11、用处,,剪力图不变,突变量等于集中力偶的大小。,弯矩图发生突变,,内力Fs 、M 的变化规律,载荷,F,水平直线,+,-,or,or,上斜直线,上凸 抛物线,下凸 抛物线,下斜直线,(剪力图 无突变),F处有尖角,斜直线,6、,积分得,在和的两个截面上的剪力之差,等于两截面间载荷图的面积,在和的两个截面上的弯矩之差,等于两截面间剪力图的面积,校核已作出的内力图是否正确;,微分关系的利用,快速绘制梁的内力图;不必再建立内力方程;,1计算约束反力,2确定控制面,A、B两个截面、约束力FBy右侧的截面、以及集中力qa左侧的截面。,例:利用微分关系快速作梁的内力图,q,qa,FBy,FAy,3建立坐标
12、系,4确定控制面,5画图,确定剪力等于零的截面位置。,例3:利用微分关系快速作梁的内力图,A,B,q,F=qa,C,a,2a,FA,FB,(1)求约束反力,E,(2)建立坐标系,(3)确定控制截面,-qa,a/2,(4)利用微分关系作图,例4:利用微分关系作梁的内力图。,1、求支座反力,A,B,1m,1m,4m,F=3KN,C,D,q=2KN/m,(2)建立坐标系,(3)确定控制截面,(4)利用微分关系作图,-3KN,4.2KN,-3.8KN,2.1m,-2.2KN.m,-3KN.m,3.8KN.m,回顾与比较,内力,应力公式及分布规律,均匀分布,线形分布,第四节 纯弯曲时梁横截面上的正应力,
13、一、纯弯曲,梁段CD上,只有弯矩,没有剪力,梁段AC和BD上,既有弯矩,又有剪力,纯弯曲,纯弯曲,横力弯曲,Fs,M,Fa,Fa,F,F,纯弯曲实例,纯弯曲,1、变形几何关系,2、物理关系,3、静力学关系,纯弯曲的内力,剪力Fs=0,横截面上没有切应力,只有正应力。,弯曲正应力的 分布规律和计算公式,1、变形几何关系,(一)实验观察现象:,施加一对正弯矩,观察变形,观察到纵向线与横向线有何变化?,纵向线,由直线,曲线,横向线,由直线,直线,相对旋转一个角度后,,仍然与纵向弧线垂直。,变化的是:,1、纵向线的长度,2、两横截面的夹角,各纵向线的长度还相等吗?,各横向线之间依然平行吗?,横截面绕某
14、一轴线发生了偏转。,(二)提出假设:,1、平面假设:,变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面;,于1695年提出梁弯曲的平面假设,瑞士科学家Jacob.贝努力,纵向纤维之间没有相互挤压,,2、假设:,观察纵向纤维之间有无相互作用力,各纵向纤维只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。,凹入一侧纤维,凸出一侧纤维,观察纵向纤维的变化,在正弯矩的作用下,,偏上的纤维,缩短,,偏下的纤维,伸长。,缩短;,伸长。,纤维长度不变,中性层,中性层,L0,L0,L=0,既不伸长也不缩短,中性轴,中性轴上各点,=0,各横截面绕,中性轴发生偏转。,中性轴的位置,过截面形心,(三)理论分析:,y的物理意义,纵向纤维到中性层
15、的距离;,点到中性轴的距离。,z,y,两直线间的距离,公式推导,线应变的变化规律,与纤维到中性层的距离成正比。,从横截面上看:,点离开中性轴越远,,该点的线应变越大。,2、物理关系,虎克定律,弯曲正应力的分布规律,a、与点到中性轴的距离成正比;,c、正弯矩作用下,,上压下拉;,当P时,沿截面高度,线性分布;,b、沿截面宽度,均匀分布;,d、危险点的位置,,离开中性轴最远处.,还需确定中性轴Z的位置及中性层的曲率半径。,3、静力学关系,从纯弯曲的梁截开一个横截面,如图所示。,由于梁弯曲时横截面上没有轴向内力,所以这些内力元素的合力在x方向的分量为零。,因为,说明y有正负?,内力元素对z轴之矩的总
16、和组成了横截面上的弯矩:,结论:中性轴必通过横截面的形心,这样就确定了中性轴的位置。,横截面合力为0,4、弯曲正应力计算公式,变形几何关系,物理关系,静力学关系,正应力公式,弯曲正应力分布规律,弯曲正应力计算公式,5、横截面上最大弯曲正应力,截面的抗弯截面系数;。,反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响,最大弯曲正应力计算公式,适用条件,对称弯曲,比例极限内,第五节 惯性矩的计算,dy,y,y,一、横力弯曲,横力弯曲时的正应力,F,F,FL,横截面上内力,剪力+弯矩,横截面上的应力,既有正应力,,又有切应力,横力弯曲时的横截面,横截面,不再保持为平面,且由于切应力的存在,,也不能保证纵向纤维之间没有正应力,纯弯曲正应力公式,弹性力学精确分析表明:,横力弯曲最大正应力,二 横力弯曲正应力,对于跨度 L 与横截面高度 h 之比 L / h 5的细长梁,,用纯弯