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1、,第四节 空间曲线及其方程,一、空间曲线的一般方程,二、空间曲线的参数方程,三、空间曲线在坐标面上的投影,四、小结 思考题,空间曲线的一般方程,曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.,空间曲线C 可看作空间两曲面的交线.,特点：,一、空间曲线的一般方程,【注】空间曲线用一般方程表示,表达式形式不唯一.,空间曲线的参数方程,二、空间曲线的参数方程,P,圆柱面,a,x = y = z =,acos,b,M(x,y,z),asin,M,N,Q,螺旋线的重要性质： 上升的高度与转过的 角度成正比,螺旋线又称圆柱螺线,螺线从点P Q,当 从 0 2，,叫螺距,
2、消去变量z 后得：,曲线关于 的投影柱面,设空间曲线的一般方程：,以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.,投影柱面的特征：,三、空间曲线在坐标面上的投影,如图:投影曲线的研究过程.,空间曲线,投影曲线,投影柱面,类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影,面上的投影曲线,面上的投影曲线,空间曲线在 面上的投影曲线,【例4】求曲线 在坐标面上的投影.,【解】,(1)消去变量z后得,在 面上的投影为,所以在 面上的投影为线段.,（2）因为曲线在平面 上，,（3）同理在 面上的投影也为线段.,截线方程为,【解】,如图,1,【解】,得交线L：,【例6】,由,.,1,L,.,.,.,.,投影柱面,【
3、解】,得交线L：,由,【例6】,L:,( ),空间曲线作为投影柱面的交线(1),消去z,y2 = 4x,y2 = 4x,L:,( ),消去z,(消去x ),空间曲线作为投影柱面的交线(1),.,y2+(z 2)2 = 4,y2+(z 2)2 = 4,y2 = 4x,y2 = 4x,L：,L:,L,转动坐标系，有下页图,( ),转动坐标系，有下页图,.,消去z,(消去x ),.,y2+(z 2)2 = 4,y2 = 4x,y2+(z 2)2 = 4,y2 = 4x,空间曲线作为投影柱面的交线(1),说明了L 的一般方程表达形式不唯一,L：,L,y2+(z 2)2 = 4,y2 = 4x (消去z),y 2 + (z 2)2 = 4 (消去x),y2 = 4x,空间曲线作为投影柱面的交线(2),补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.,空间立体,曲面,【例7】,【解】,半球面和锥面的交线为,一个圆,【注意】空间立体或曲面在坐标面上的投影是该坐标面上的一块区域,或一段曲线.故一般用不等式表示.,空间曲线的一般方程、参数方程,四、小结,空间曲线在坐标面上的投影,【思考题】,【思考题解答】,交线方程为,在 面上的投影为,
