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1、一 寸 光 阴 不 可 轻 椭圆中与焦点三角形有关的问题 一、内容和内容解析 本节课起源于两个常见习题，在焦点三角形中很典型，要利用课堂有限的四十分钟引导学生做一些探 究，体会发现的乐趣。 规律在大纲中指的是定律、定理、法则等，一般在书上以黑体字出现，是前人研究的成果。而在知识 形成和解题教学中，引导学生多角度挖掘知识，充分发挥典型题的探索价值往往能够使学生发现许多书本 上没有的规律。让学生自主参与教学全过程，不仅培养了学生的自主学习能力。而且培养了学生的创新精 神和实践能力，使他们体会到做学问的快乐。 二、目标和目标解析 1.知识上，能一起探究焦点三角形的有用结论，能理解、会应用 2.行动上
2、，笔不离手，认识到有效的计算是解答解析几何问题的必备。 三、教学问题诊断分析 从学生的认知基础和认知结构看，第一，学生虽然已经学习了三角知识和基本不等式，但是对于利用 三角和基本不等式处理关联的知识掌握参差不齐，甚至大部分学生没有这种意识；第二，如何把一个素未 谋面的具体问题利用坐标法转化为熟悉的问题来解决这是一个关键，由于学生积累的经验还不够，这也是 一个教学难点。第三，学生会感到结论太多，学过会忘记。 从教师这方面看，首先这部分内容教材中出现不多，但其实是各类考试的热点，经久不衰，题型灵活 多样。鉴于知识储备及学生的差异，高效的组织教学将是一个突出的问题；其次学生虽然已对于简单的焦 点三角
3、形有所认识，但不可能从根本上去理解，在完成探究任务的同时，还要结合一些典型案例的处理， 使学生经历较完整的自主发现的全过程，在过程中让学生体会坐标法的基本思想，对教师驾驭课堂、灵活 应变能力提出了较高的要求。 四、教学过程设计 第一部分：课前两分钟。 教师活动：点明研究需要的知识：椭圆定义、三角形中的的正(余)弦定理、向量的数量积、面积公式 等。 第二部分：四十分钟 （一）课题引入 1 （教师活动）由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称作为焦点三角形。 设计意图：与这个三角形有关的问题是解析几何研究的热点，经久不衰，题型灵活多样。 考点 1有关角的问题,94,2,y,l2,x 2 题 1：椭圆
4、 1 的焦点为 F 、F ，点 P 为其上动点，当F1 PF2 为钝角时，点 P 横坐标的,取值范围是 。 设计意图：从习题入手，不陌生，并且让学生明白本节课内容有很强的实用价值。 （二）问题的分析与引导 问题分解：,94,1,2,y,l2,x 2 问题 1. 椭圆 1 的焦点为 F 、F ，点 P 为其上一点，当,F1 PF2 为直角时，点 P 的横坐标,是 。 问题 2. 而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系？,一 寸 光 阴 不 可 轻 解题的关键在于点动，发现F1 PF2 的大小与点P 的位置有关，究竟有何联系，成了大家探索的焦点。 设计意图：把一个看似未知的问题转化为几个“已经具备的
5、经验”可以解决的问题，是数学常规解题 策略，这个任务不可能一蹴而就，但可以水滴石穿。 性质一：当点P 从右至左运动时， F1 PF2 由锐角变成直角，又变成钝角，过了Y 轴之后，对称地由 钝角变成直角再变成锐角，并且发现当点 P 与短轴端点重合时， F1 PF2 达到最大。 3.“性质一”是为什么呢？你能证明吗？ 提示：“这节课我们研究的是焦点三角形，在三角形中，求角的最值往往可转化为求什么的最值?”学 生思考后回答：求某个三角函数的最值。 问题 3：解三角形中我们常用的理论依据是什么？ 问题 4：究竟转化为求哪种三角函数的最值，经大家演算、试验，悟出“欲求F1 PF2 的最大值，只 需求 c
6、os F1 PF2 的最小值”,12,12,2 | PF | | PF |,| PF |2 | PF |2 | F F |2,（面对 cos F PF = 121 2如何求最小值，有的同学尝试后发现若用两次均,值不等式，则两次不等号方向相反，达不到目的。能否少用一次均值不等式求出最值呢?学生们发现分子 变化的部分是| PF |2 | PF |2 ，分母变化的部分是2 | PF | | PF |，二者的关系是 1212,21212,1,22,| PF |2 | PF 12,| | PF | | PF | 2 | PF | | PF | 4a 2 2 | PF | | PF | ，于是目标式可分,
7、成两部分,| PF1 | | PF2 |,2b 2,1, 1 ，最后对| PF | | PF2 | 利用均值不等式，即可大功告成。,设计意图：本例很好地体现了三角及基本不等式的应用。,1,从而求得当| PF | PF2 | ，即点 P 与短轴端点重合时，cos ,a 2,2b 2 F1 PF2 有最小值为 1 ，,F1 PF2 有,最大值。此题结果为 ,5 ,55,3 5 3, 。）,考点 2 有关离心率的问题 由上面的分析，你能得出 cos F1 PF2 与离心率 e 的关系吗？,x 2,2 性质二：已知椭圆方程为 y 1(a b 0), 两焦点分别为 F , F , 设焦点三角形 PF F
8、 中 a 2b 2121 2,12,F PF ,cos,2,则 1 2e .,（当且仅当动点为短轴端点时取等号）,设计意图：进一步的挖掘，可以让问题简单化，应用价值就更高，“看似一小步，其实一大步”！,b 2,2,题 2：已知 F1 、 F2 是椭圆 a 2,x 2,2 y 1(a b 0) 的两个焦点，椭圆上一,一 寸 光 阴 不 可 轻 点 P 使F1PF2 90 ，求椭圆离心率e 的取值范围。 思路：由焦点三角形性质二， cos900 1 2e2 .,2,2 e 1,x 2,2 变式 1 ： 已知椭圆 y 1(a b 0) 的两焦点分别为 F , F , 若椭圆上存在一点 P, 使得 a
9、 2b 212,12,F PF 120 0 , 求椭圆的离心率e 的取值范围。,2,简解：由椭圆焦点三角形性质可知cos1200 1 2e2 . 即 1 1 2e2,3,于是得到e 的取值范围是 2 ,1.,追问：何时取等号？,2,x 22 变式 2：若椭圆 y 1 的两个焦点 F 、F ，试问：椭圆上是否存在点 P ，使 1,F1PF2 90,？存在，,43 求出点 P 的纵坐标；否则说明理由。 简解：两种做法：,方法一：设 PF1 m , PF2 n ，可以得到,22,m n 4,m n 4,，故 mn 6 ，所,以 P 的纵坐标的绝对值 yP 3 ，故 P 的纵坐标为 3 或-3. 方法
10、二： cos90 1 2e2 2 e 1，但椭圆离心率为 1 ，不在范围内，故不存在。 22 两种解法，答案不一致，原因？ 设计意图：两个练习题，层层递进，练习 2 直接为“问题引入 2”埋下伏笔，有承上启下的作用。,考点 3 有关面积的问题：（,F1PF2,S b2 tan ,2 ）（ 为焦点三角形顶角）,（三）问题引入 2（一道很普通的错题）,54,2,y,x 2 题 3：P 是椭圆,l2, 3,3, 1 上的点，F ，F 是椭圆的焦点，若F1 PF2,，则PF1 F2 的面积等,于 。 多数同学：利用椭圆定义和余弦定理列出方程组，消元，求出| PF1 | | PF2 |，代入面积公式。
11、问大家：“既然面积可求，那么| PF1 | 、| PF2 | 也一定可求，请大家计算一下| PF1 | 、| PF2 | 的值”。,一 寸 光 阴 不 可 轻 同学们利用根与系数的关系构造一个以| PF1 | 、| PF2 | 为根的一元二次方程，发现此方程判别式小于 0， 无实根，究竟怎么回事，同学们陷入思考中。两种解法，两种结果，谁对准错，难以定夺，同学们自发地 探索起分歧的原因。经讨论、交流、思考，发现题目出错，利用刚才探索出的规律，当点 P 与短轴端点,1212, 3,重合时， F PF 有最大值，查表求得是57 ，因此，给定椭圆上不存在点 P，使,F PF ,a 2b 2,12,x
12、2y 2 问题 1：已知椭圆 C： 1(ab0)，F 、F 是两个焦点，对于给定的角 0 ， 探求,在 C 上存在点P，使 F1 PF2 的条件。 尽量让学生得到：存在点P 的条件可相应得到： F1 BF2 。(B 为椭圆短轴的一个端点) 设计意图：要学生养成仔细审题的习惯，就必须从课堂开始训练。 问题 2：怎样改动，使上面不是一个错题？,54,2,y,l2,x 2 改动一：P 是椭圆 1 上的点，F ，F 是椭圆的焦点，若, 6,F1 PF2,，则PF1 F2 的面,积等于 。,2,x 2, 1 上的点，Fl，F2 是椭圆的焦点，若F1 PF2 3,，则PF1 F2 的面,改动二：P 是椭圆
13、 y 4 积等于 。,问题 3：改动的依据是什么？（ F1PF2 F1BF2 ,B 为短轴的一个端点） 设计意图：自己编题，体会题目如何来，要考什么。,2,2,a 2b 2,x,y 2 题 4：若 F1 、 F 是椭圆 1(a b 0) 的两个焦点， P 是椭圆上一点，且,F1PF2 ，求椭,圆的面积。 解 ： 设,PF1 m ，,1 2,22,m n 2mn cos F F,PF2 n ， 由 余 弦 定 理 得 2 4c 2 ,由椭圆定义得 m n 2a ,1 cos1 cos,2(a 2 c 2 )2b 2,由得： mn ,2, b2 tan ,sin 1 cos2, S 1 mn si
14、n b2,F1PF2,性质三：若,2,a 2b 2,x,2y 2 F1 、 F 是椭圆 1(a b 0) 的两个焦点，,P 是椭圆上一点，且,F1PF2 ，,2,1 2,则 S,F PF, b tan。 2,2,a 2b 2,4,x,2y 2 继续看题 2：已知 F1 、F 是椭圆 1(a b 0) 的两个焦点，椭圆上一点 P 使,F1PF2 90,，求椭,一 寸 光 阴 不 可 轻 圆离心率e 的取值范围。 思路二：利用焦点三角形性质，从面积角度考虑 不妨设短轴一端点为 B,F1PF2,则 S b2 tan 45 b2 S, 1 2c b bc 2,F1BF2,22, b c b c a,c
15、 c,c 2,222 2,e a 22,1,故,2,2 e 1,当然，若用公式去解同学们编制的题目，将是易如反掌的。 如果把图形特殊化，使 PF1F1F2,我们可以得到：,2b 2,性质四：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为。 a,22,2,yx,ab,题 5：已知椭圆C1 ： 2 1 (a b ,0) 的右顶点为 A(1, 0) ，过C1 的焦点且垂直长轴的弦长为1求,椭圆C1 的方程； 这就是 09 年浙江省高考理科试题。展示评分标准。 设计意图：从高考角度出现，进一步体现实用价值。 问题：考察两个定点的位置还有哪些可能。,定点可以是长轴顶。恒、中心、短轴顶点，甚至可能
16、是坐标轴上任一点或椭圆内的一点。 【课堂测试】 x2y2 已知 F1、F2 是椭圆C : a2 b2 1(a b 0) 的两个焦点， p 为椭圆C 上的一点，且 PF1 PF2 。若 PF1F2 的面积为 9，则b .（09 上海） 已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点，满足 MF1 MF2 0 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围 是 （ C ） （09 江 西 ）,A (0,1) B (0,122 222, C (0,) D,1),2,3. 已知椭圆 a2,x2 ,y 1(a 1) 的两个焦点分别为 F1 , F2 , P 为椭圆上一点, 且 F1PF2 60 , 则,| PF1 | | PF2 | 的值等于 ,x2 y2 4（选做）设椭圆1(ab0) a2b2,的左、右焦点分别为 F1，F2，A 是椭圆上
