《教授极限与连续教学案例》由会员分享，可在线阅读，更多相关《教授极限与连续教学案例（115页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 极限与连续,极限概念的引入,极限的思想是由于求某些实际问题的精确解而产生的。 我国古代的“割圆术”（刘徽）就是极限思想在几何上的应用。 极限是研究变量变化趋势的，连续、导数、定积分等概念都是用极限定义的。极限方法也是研究函数的一种重要方法。,返回,教学内容：,注：数列是整标函数，在平面坐标系中表示为动点,一、数列,二、数列的极限,例,1、上述定义为极限的描述性定义。,2、极限的数学定义见书，它用两个动态指标和N刻画了极限的实质. 用定量地刻画了yn 与A之间的距离任意小，用n N表示n充分大，习惯上称为极限的N定义。,说明：,3、如果一个数列有极限，我们就称这个数列收敛， 否则就称它是
2、发散的。,引例：,N为正整数,x为实数,例,注意,观察下列函数的变化趋势，分析函数的极限,引例：,说明,（1）定义为极限的描述性定义。,例,重要公式,分两种情形讨论：,一般地，有单侧极限的概念,左极限,右极限,（1）左极限,（2）右极限,三、分段函数的极限,例,证,左右极限存在但不相等,判断极限是否存在的依据,解：,小结：,数列的极限,函数的极限,课堂练习,一、判断题,复习：,数列的极限,函数的极限,变 量 的 极 限,两类变量,三个过程,引例：,考察下列函数的变化趋势，确定它们的极限,对于这样的函数或变量，我们可以给出下面的概念,无穷小的阶,无穷小与无穷大的关系,无穷小与极限的关系,无穷小,
3、无穷大,一、无穷大量,二、无穷小量,注：常数0也是无穷小,1、无穷小与极限,2、无穷小与无穷大,3、无穷小的性质,无穷小,无穷小,无穷小,代数和 乘积,观察,可以用无穷小的阶来反映无穷小趋于零的快慢程度,4、无穷小的阶,4、无穷小的阶,思考,常见的等价无穷小：,小结,引入：,问题：,极限的运算,一、极限的运算法则,说明：,定理的条件 定理简言之即是：和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商 定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对任何一个过程都成立,二、求极限方法举例,方法一:,代入法,例2,返回,解,例2、求下列极限,方法二:,消去零因子法,例3,返回,返回,返回,例3 求下列极限,方法
4、三（无穷小分出法）:以分式中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.,例4,例3解 （分子分母同除x的最高次幂）,返回,例4,先通分，再求极限,例5,解,先变形再求极限.,例6,解：,小结：,一、极限的四则运算法则,二、极限求法,1.多项式与分式函数代入法求极限; 2.消去零因子法求极限; 3.无穷小因子分出法求极限; 4.利用左右极限求分段函数极限.,复习：,一、极限的四则运算法则,二、极限求法,引入：,两个重要极限,利息计算模型,你知道吗？,2.6 两个重要极限,(一),例1,例2,解：,推论：,例3,例4 求下列极限,小结：,推论：,下面的式子正确吗？,注意：极限及推论
5、的运用范围,(二),推论,例6,例5,例5 求下列极限,返回,例6,(二),推论,小结：,2.7 等价无穷小的应用,定理,(等价无穷小替换定理),意义,求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换。,例7,例8,解,错,解,课堂练习,2.8 函数的连续性,函数连续,函数不连续,认识连续函数,一、函数增量的概念,实例：,观察,函数连续,函数不连续,分析,二、连续函数的概念,例1,例2,例1,返回,例2,返回,判别方法,例3,解：,三、函数的间断点,如果函数 在 点不连续
6、，则称 为函数的间断点,举例,间断点的类型,由左右极限判别间断点的类型,左右极限都存在,第一类间断点,左右极限至少有一个不存在,第二类间断点,第一类间断点,可去型,跳跃型,第二类间断点,无穷型,振荡型,演示,例4,复习：,分类,寻找间断点,分析函数的连续性,判别方法,复习,间断点及其分类,判别为间断点,进行分类,补充、改正定义,根据左右极限判别,解：,例5,解：,教学任务,1、左连续与右连续,例如,例如,连续,点连续,区间连续,开区间连续,闭区间连续,右连续,左连续,小结,连续区间,连续函数,四、初等函数的连续性,1、连续函数的运算,例如,2、初等函数的连续性,例6,3、函数的连续区间,（1）
7、初等函数的连续区间就是它的定义区间； （2）分段函数的连续性，要另外讨论分段点处函数的连续性.,五、利用函数连续性求极限,交换顺序,代入法,例7,例8,六、闭区间上连续函数的性质,1、最大值和最小值定理,2、介值定理,值域区间,3、零点定理,例6,本章小结,一、求极限方法小结,1.初等函数代入法求极限;,p91、11(9)、(10),P92、11（23）,P92、11(27),P92、11(28)、（30）,因为：,所以,P92、14,(1),P94、24（6）（7）,二、连续函数与连续区间,2、初等函数的连续性 初等函数的连续区间就是它的定义区间 3、分段函数的连续性，要讨论分段点处函数的连续性,P94、30（2）（6）,解：,解：,作如图所示的单位圆,证明：,返回,
