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1、相似矩阵,相似矩阵,设 A和B为 n 阶矩阵。如果存在n 阶可逆矩阵P， 使得 ，则称A相似于B，或说A和B相似 。,基本性质,（1）反身性 A相似于A。,（2） 对称性 A相似于B，则B相似于A。,（3） 传递性 A相似于B，B相似于C，则A相似于C。,定 义,相似矩阵的性质,若A和B相似，则（1） （2）,证明（1）,（2）,（3）,（4）,证明,证明,（特征多项式相同）,（有相等的迹）,一般方阵的对角化,定理 n 阶矩阵A能相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。,充分性,设方阵A的n个线性无关的特征向量 对应的特征值分别为 ，则,必要性,设A相似于对角矩阵,即存在可逆
2、矩阵B，使得,由B可逆便知： 都是非零向量，因而都是A的特征向量，且 线性无关。,推论,如果n阶方阵A有n个不同的特征值 则方阵A相似于对角矩阵,例 用相似变换化矩阵为对角形,解,A的特征方程为,得特征值为,对于,可求得特征向量,对于,可求得线性无关的特征向量,令,则,且,利用对角化计算矩阵的乘幂,例设,解,A的特征方程为,特征值为,对应的特征向量为,对应的特征向量为,解方程组,令,则有,因此,对称矩阵的对角化,例用正交变换把下列对称矩阵对角化,解（）求方阵的特征值,由,得特征值,（）求特征向量,对于,对于,解方程组,得一个基础解系,解方程组,得一个基础解系,（）将特征向量组正交化、单位化,令,正交化,单位化,（）构造矩阵，写出相应的对角形矩阵,令,则有,用正交变换把下列对称矩阵对角化,练一练,
