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1、, 多元微积分学,大 学 数 学（三）,脚本编写：彭亚新,课件制作：彭亚新,第七讲 高阶偏导数,主讲教师：彭亚新,第一章 多元函数微分学,第七节 高阶偏导数,正确理解多元函数高阶偏导数的概念。 能熟练地计算二、三元函数的高阶偏导数( )。 熟悉求混合偏导数与求导顺序无关的条件。 了解高阶微分的概念及其算子表示法。 会求二、三元函数的二阶微分。 知道多元函数的泰勒公式。,本节教学要求：,第七节 高阶偏导数,多元函数的高阶导数与一元函数的情形类似.,一般说来, 在区域 内, 函数 z = f (x, y) 的偏导数,仍是变量 x , y 的多元函数, 如果偏导数,的二阶偏导数.,依此类推, 可定义
2、多元函数的更高阶的导数.,仍可偏导, 则它们的偏导数就是原来函数,高阶偏导数,例,高阶偏导数还可使用下列记号,二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项,例,例,例,例,共 23 = 8 项.,发现求高阶导数与求导顺序有关.,例,先求一阶偏导数：,再求二阶偏导数：,解,例,解,二阶混合偏导数：,发现两个混合偏导数相等,一般性？,这里的两个混合偏导数均连续,例,需按定义求函数在点(0, 0) 处的偏导数:,解,同理:,比较:,这说明只有在一定的条件下求函数,的高阶偏导数才与求导顺序无关.,想想应是什么条件？,定理,则必有,废话! 求出偏导数才能判断连续性, 这时一眼就可看出混合偏导数是否相等了, 还要定理干什么.,有些函数不必求出其导数,就可知道它的导函数是否连续. 懂吗！,引入记号：,例,解,例,解,例,解,例,这是求隐函数的高阶偏导数.,请自己计算,解,例,令,解,即,同理可得,将上述偏导数带入原方程, 得到,
