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1、本资料来源,X2检验法: X分布: 我们已知:正态离差:U= 假如我们用X2来表示U2,则有: () 如果有几个样本,则将几个样本的X2相加: ()2() () X2 21 + nn ()2 2,当样本的方差等于理论平均数时: (即: 2 = ) () 则:X2 U 由此可知: X2分布是当样本的方差等于理论平均数时的一种特 殊形式的正态离差平方的分布 其分布是连续的,其值域的大小随着自由度的 增加 而增加。 (即:项数越多,X2值越大)。 2、适合性检验: 例:已知:男女性别比例为:1:1。调查某地100名新生 儿,得:男:58,女:42。 问:该地区新生儿是否符合1:1比例? 解:假设:H
2、0:O-T=0(符合1:1比例)。 HA:O-T0(不符合1:1比例)。,已知:男:女1:1 则:,(A-T)2 (58-50)2 (42-50)2 X2 = T = 50 + 50 =2.56 查表:d f2-11 X0.05,1=3.841 2.560.05 结论:接受HO,符合1:1比例。,由于X2分布是连续性的,而次数资料则是间断性的, 由间断性资料算得的X2值有偏大的趋势,尤其是d f1时, 必须作适当的矫正。 矫正的方法是:将各偏差的绝对值减去1/2。 公式改成: (|A-T|-1/2)2 X2C= T,如果我们用:a表示第一组变量。 b表示第二组变量。 n表示实际观察总数。 则:
3、上式中的:T=1/2n1/2(a+b) na + b,(|A-T|-1/2)2 ( |a-T|-1/2)2 (|b-T|-1/2)2 X2C= T = 1/2n + n,2(|a-T|-1/2)2 + 2(|b-T|-1/2)2 = n (分子分母同乘以2) 2|a-(1/2a+1/2b)|-1/22+2|b-(1/2a+1/2b)|-1/22 = n 2|a-1/2a-1/2b|-1/22 + 2|b-1/2a-1/2b|-1/22 = n 2|1/2a-1/2b|-1/22 + 2|1/2b-1/2a|-1/22 = n 21/4|a-b|-12 +21/4|b-a|-12 = n (|a
4、-b|-1)2 = n,所以: (|a-b|-1)2 X2C= n 一对基因 1:1分离,(|a-3b|-2)2 X2C= 3n 一对基因,完全显性。3:1分离。 (|7a-9b|-7/8)2 X2C= 63n 两对基因,显性上位。9:7分离。 (|a-15b|-8)2 X2C= 15n 两对基因,重复基因。15:1分离。 (|a-2b|-3/2)2 X2C= 2n 一对基因,显性致死。2:1分离。 |a-r a|-(r+1)/22 X2C= r n r:1分离。,两组以上资料(的d f2)的适合性检验: 例:孟德尔豌豆杂交试验:两对基因:9:3:3:1分离。 黄、满 绿、皱 F1: 黄、满
5、F2: 黄、满(315):黄、皱(101):绿、满(108):绿、皱(32),问:是否符合9:3:3:1的比例? 解:HO:O-T=0(符合9:3:3:1的比例) HA:O-T0(不符合9:3:3:1的比例),因d f2,故不必矫正: 2.252 (-3.25)2 3.752 (-2.75)2 X2= 312.75 + 104.25 + 104.25 + 34.75 = 0.4695 查表:d f4-13 X20.05,3=7.81 0.46950.05 结论:接受HO,符合9:3:3:1的比例。,X2的正态分布检验: 例:调查1000粒某植物种子的重量,单位:克。数据已经列 成下表。 问:这
6、次调查的数据是否符合正态分布?,解:X=OiVi=4270 X2= OiVi2=21296 X =X/n=4270/1000=4.27 S2= (X2- (X)2/n)/(n-1) =21296-42702/1000/999=3.066167 S=3.066167=1.75105 假设:H0:O-T=0 (符合正态分布) HA:O-T0 (不符合正态分布),查表:X27,0.05=14.067, 29.25414.067, P0.05 结论:拒绝H0,该分布不符合正态分布。 注意:由实际数转换成理论概率增加一次自由度,再由理论概率转换成理 论数又增加一次自由度,故df=10-1-2=7。,3、
7、独立性检验次数资料的相关分析。 例如: 一组变量( 射线剂量) 另一组变量(死亡率) 1 a1 2 a2 3 a3 若:两组变量相互独立, 则表明:无关。无效果。 两组变量相互不独立,则表明:有关。有效果。,1)、22表格: 例:CO60-射线辐照引起水稻死亡率的效果分析:,假设:HO:两事件独立。即:种子照否这一事件与水稻 活否这一事件毫无关系。(也就是说:照射 无作用,无效假说。) HA:两事件非独立。(有关、有效、有作用。) 如果把:存活的总数(130) 死亡的总数(70) 对照的总数(75) 辐照的总数(125) 都看作是事件出现的频率次数,而200则是试验的总次数。,如果辐照与否同存
8、活与否这两个事件互为独立事件,则: 两独立事件同时出现的概率等于两事件概率之积: 故:存活、对照的频率:13075/20048.75 死亡、对照的频率:7075/200 26.25 存活、辐照的频率:130125/20081.25 死亡、辐照的频率:70125/20043.75,(7.25-0.5)2 (-7.25-0.5)2 (-7.25 -0.5)2 (7.25-0.5)2 X2C= 48.75 + 26.25 + 81.25 + 43.75 =4.38,查表:d f=(C-1)(r-1)=(2-1)(2-1)=1 X20.05,1=3.84 4.383.84 P0.05 结论:否定HO,
9、接受HA。表明射线辐照对水稻的存活有 显著的作用。,22表格的X2独立性检验的通式: a11 a12 R1 a21 a22 R2 C1 C2 n,2)、2C表格: 例:水稻在三种密度下纹枯病的发病情况:,同理:1510病株:200121/600=40.33 1510健株:200479/600=159.67 69病株: 200121/600=40.33 69健株: 200497/600=159.67 8.56病株: 200121/600=40.33 8.56健株:200497/600=159.67,(-14.33)2 14.332 (-13.67)2 X2= 40.33 + 159.67 + 1
10、59.67 =12.193 d f =(c-1)(r-1)=(2-1)(3-1)=2 查表:X20.05,2=5.99 12.1935.99 P0.05 结论:否定HO,接受HA。不同种植密度与纹枯病发病情 况显著相关。即:不同密度下的纹枯病发病情况 有显著差别。,2C表格通式: 1 2 3 c 1 a11 a12 a13 a1c R1 2 a21 a22 a23 a2c R2 C1 C2 C3 Cc n,上例代入公式: 6002 262 412 542 1212 X2= 121479 ( 200 + 200 + 200 - 600 )=12.195,r c表格: 例:不同灌溉方式下水稻叶片衰
11、老情况的调查:,解:H0:O-T=0 (水稻叶片衰老情况与灌溉方式无关。) HA:O-T0 (水稻叶片衰老情况与灌溉方式有关。) (146-140.69)2 (16-11.98)2 X2= 140.69 + + 11.98 = 5.62 查表:d f =(r-1)(c-1)=(3-1)(3-1)=4 X20.05,4=9.49 5.620.05 结论:接受H0,水稻叶片衰老情况与灌溉方式无关。即: 不同的灌溉方式对水稻叶片衰老情况没有显著的影响。,RC表格通式: 1 2 3 c 1 a11 a12 a13 a1c R1 2 a21 a22 a23 a2c R2 3 a31 a32 a33 a3
12、c R3 r ar1 ar2 ar3 arc Rr C1 C2 C3 Cc n,上例代入公式: 1462 72 162 X2=547(160481+16030 +18236)-1 =5.63,4)、几个样本方差的X2同质性检验:(齐性检验) 我们已知:X2=U2=(X-)2/2 多个样本,则:X2=U12+U22+Ui2=Ui2,几个样本方差同质的X2检验: 我们已知:若有k个样本,则:各样本的独立方差为: S12=(X1-X1)2/df1 S22=(X2-X2)2/df2 S32=(X3-X3)2/df3 Sk2=(XkXk)2/dfk 式中的分子我们称之为“离差平方和”。(X-X)2 分母
13、我们称之为“自由度”。 d f=n-1 那么:k个样本的合并方差是多少呢? 方法是:将k个样本的平方和累加除以k个样本的自由度累加。 即:合并方差: (X1-X1)2 +(X2-X2)2 +(Xk-Xk)2 Sp2 = df1 + df2 + +dfk =(df1s12+df2s22+dfksk2)/(df1+df2+dfk) =dfisi2/dfi 因为:(X-X)2=dfS2,式中:2.3026是 l n log的转换值。,例:三个同学用同一种培养基培养细菌,得如下结果: (菌落数/皿)甲做5皿 n5 df14 S12=4.2 乙做6皿 n6 df25 S22=6.0 丙做12皿 n12
14、df311 S32=3.1 问:三个同学所做的实验方差的来源是否同质? 解:H0:方差同质。HA:方差不同质。,Sp21/i S i=1/2180.94.045 ilnSp220ln4.045=201.39748=27.94960 C = 1+1/3(3-1) (1/4+1/5+1/11-1/20)=1.0818 X2=1/1.0818(27.94960-27.14452)=0.744,查表:=d f = k-1= 3-1= 2 X22;0.05=5.991 0.7440.05 结论:接受H0,方差同质。即三个同学所做实验的方差 原因是相同的。 若采用常用对数计算: ilogSp220log4.045200.60691912.13837 X2=2.3026/1.0818(12.13837-11.78871)=0.744 和上面的结果完全一致。 4、附:X2的概率度分析。 当22联列表中任何一格的理论数小于5时,X2检验会 有偏岐,这时应采用更精确的方法-概率度分析去直接 估计事件发生的概率。 设:N=9的22联列表,则可能发生的事件有四种 情况:,