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1、,高等数学,黄寿颖,2020/8/4,课程特点,本课程与中学数学课程有很大不同，课程相当紧凑，每一节课讲的内容多，进度快。,较多的内容需要演算论证和逻辑推理，还有一些运算比较复杂，需要有耐心和细心。,高数是学习专业基础课、专业课 一种重要的数学工具。,2020/8/4,教学安排,第一章 极限与连续 16学时 第二章 一元函数微分学 20学时 第三章 一元函数积分学 24学时 第四章 微分方程 12学时 (期中考 复习 2 学时) 期末总复习 6 学时 本学期授课内容从第一章至第四章。,参考书目：,高等数学全真课堂 北京大学数学科学院编， 学苑出版社， 2003年,高等数学习题集 北京大学数学科
2、学学院 韩松 主编， 科学技术文献出版社，2000年,第 一 章 极限与连续,2020/8/4,第一节 微积分中的极限方法,例1、曲边三角形面积问题,求 y = x2 与 x 轴、直线 x = 1 所围曲边三角形的面积 S.,n个小矩形面积 Sn,2020/8/4,例2、瞬时速度问题,设质点沿直线运动的位置函数为 s = s(t) ， 求其在时刻 t0 的(瞬时)速度.,t0 到 t 的平均速度为,故在 t0 时刻的瞬时速度为,2020/8/4,第二节 数列极限的定义,一、概念的引入,二、数列的定义,三、数列的极限,四、数列极限的性质,2020/8/4,1、截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万
3、世不竭”,一、概念的引入,2020/8/4,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,2、割圆术：,播放,刘徽,2020/8/4,二、数列的定义,数列定义 按照某一法则 , 对每个自然数 n , 都有确定的实数xn与之对应，这列有序的数： x1 , x2 , . , xn , . 称为数列 (sequence),数列中的每个数叫做数列的项，,第 n 项 xn 叫做数列的一般项或通项,数列简记为,2020/8/4,例如,2020/8/4,注意：,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2. 数列实质上是定义在正整数集上的函数： xn = f ( n
4、 )，n Z+,整标函数,2020/8/4,播放,三、数列的极限,2020/8/4,问题:,当 n 无限增大时, xn 的变化趋势如何？,把n无限增大这个重要的变化过程记为 n。,2020/8/4,(不存在),2020/8/4,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,例如,(xn 与1 的距离),无论给定多么小的正数(距离),(这时, xn就无限接近于1),(条件),(结论),2020/8/4,如果这样的常数 a 不存在, 就说数列没有极限, 或说数列是发散的.,例子,说明：,但未必是 的函数;,一般, 取越小, 相应 N,就越大,例子,3. N与n无关, N不是唯一的.,2.
5、 N可能与 有关，,例子,2020/8/4,下列陈述是否能作为极限 的定义？ 若不能，请举例说明.,(1) 对任意的0, 存在N,当n N时, 成立 xn a .,思考题,(2) 对任意的0, 存在无限个xn , 满足|xn a| .,2020/8/4,例1,证,所以,说明:常数列的极限等于同一常数，即,当,条件跟 无关,N不受限制, 不是 的函数,2020/8/4,例2,证,所以,当,说明:,1.用定义证明数列极限存在时,关键:任意给定 寻找 N ,但不必要求最小的 N.,2. 具有任意性和相对稳定性的双重意义.,任意性刻划了xn 与 A 无限接近程度.,相对稳定性:一经取定就确定下来了.,
6、注： N与n无关, N不是唯一的.,2020/8/4,例3,证,？,2020/8/4,用定义证明 xn= a，就是证明对 0，N存在.,从 |xna| 找 N 与解不等式 |xna| 意义不同.,证明的过程就是寻找 N 的过程，证明的方法是 从分析 |xna| ()于是可取 () 为 N。由于N 不唯一，故可把 |xna| 适当放大，得到一个新的不等式，再找 N。,注意：,2020/8/4,几何解释:,推论,数列极限的定义未给出求极限的方法.,注意：,当,领域,(N+1项以后),(问:N项以前呢？),2020/8/4,邻域: (neighborhood),补充,点 的去心 邻域,点 的 邻域,
7、实数 称为 的半径， 称为 的中心,(a R),其中，,2020/8/4,四、数列极限的性质,定理1 若极限 存在，则极限是惟一的.,1. 极限的惟一性,1)有界(无界)数列的定义,2. 收敛数列的有界性,对数列 , 若存在正数 M , 使得对一切自然 数 n , 恒有 成立, 则称数列 有界, 否则, 称为无界.,例如,有界,无界,数轴上对应于有界数列的点xn都落在闭区间-M,M上.,2020/8/4,2） 定理2 收敛的数列必定有界.,证,由定义,(全局有界性）,当,2020/8/4,定理2 收敛的数列必定有界.,推论 无界数列必定发散.,注意：有界性是数列收敛的必要非充分条件.,如：,(
8、即 作业P4 二3),证：,2020/8/4,3. 极限的保号性,2020/8/4,定理4 如果数列收敛，则它的任一个子数列也收敛，且极限相同.,(作业：P4 二4),4.子数列的归并性(子数列的收敛性),在数列 中任意抽取无穷多项并保持这些项在原数列中的先后顺序 , 这样得到的数列记为 , 称为数列 的子数列.,2020/8/4,五.小结,数列:研究其变化规律;,数列极限:极限思想,精确定义,几何意义;,收敛数列的性质:有界性 唯一性.,作业： 作业本中1.1 -1.2 那页,2020/8/4,2、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,202
9、0/8/4,2、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,2020/8/4,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,2、割圆术：,刘徽,2020/8/4,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,2、割圆术：,刘徽,2020/8/4,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,2、割圆术：,刘徽,2020/8/4,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,2、割圆术：,刘徽,2020/8/4,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于
10、不可割，则与圆周合体而无所失矣”,2、割圆术：,刘徽,2020/8/4,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,2、割圆术：,刘徽,2020/8/4,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,2、割圆术：,刘徽,2020/8/4,三、数列的极限,2020/8/4,三、数列的极限,2020/8/4,三、数列的极限,2020/8/4,三、数列的极限,2020/8/4,三、数列的极限,2020/8/4,三、数列的极限,2020/8/4,三、数列的极限,2020/8/4,三、数列的极限,2020/8/4,三、数列的极限,2020/8/4,三、数列的极限,2020/8/4,三、数列的极限,2020/8/4,三、数列的极限,2020/8/4,三、数列的极限,xn,n,
