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1、此课件除了PPT内容，课件下方附带的备注里讲解内容更细致：备注里有很多案例可以帮助理解；备注里有很多重点、难点内容的详细讲解；备注里有很多易错、易误导内容的讲解。,机电工程控制基础,河北工程大学 机械与装备工程学院 周雁冰,第五章 控制系统的频域分析,5.1 频率特性概述 5.2 频率特性的极坐标（Nyquist）图描述 5.3 频率特性的对数坐标（Bode）图描述 5.4 控制系统闭环频率特性的Bode图,频率特性分析：将传递函数从复数域引到频域来分析系统的特性。,时域分析：重点研究过渡过程，通过阶跃（或脉冲）输入下系统的瞬态响应来研究系统的性能。,频域分析：通过系统在不同频率的谐波（如一簇
2、正弦波）输入作用下的稳态响应来研究系统的性能。,1、 时域分析的缺陷,高阶系统的分析难以进行；,难以研究系统参数和结构变化对系统性能的影响；,当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分析工作将无法进行。,2、频域分析的目的,频域分析：以输入信号的频率为变量，在频率域，研究系统的结构参数与性能的关系。,无需求解微分方程，图解(频率特性图)法间接揭示系统性能并指明改进性能的方向；,易于实验分析；,优点：,可推广应用于某些非线性系统（如含有延迟环节的系统）；,可方便设计出能有效抑制噪声的系统。,一、频率响应与频率特性,5.1 频率特性概述,频率响应：线性定常控制系统或元件对正弦输入信号（或谐波
3、信号）的稳态正弦输出响应称为频率响应。,为了说明频率响应，先看一个RC电路，如图所示。电路的传递函数为,式中， T=RC为电路的时间常数。,若给电路输人一个振幅为X、频率为的正弦信号，即：,当初始条件为0时，输出电压的拉氏变换为,对上式取拉氏反变换，得输出信号时域解为,上式右端第一项是瞬态分量，第二项是稳态分量。当 时，第一项趋于0，电路稳态输出为,式中， 为输出电压的振幅； 为 与 之间的相位差。,可见，R-C电路在正弦信号作用下，过渡过程结束后，输出的稳态响应仍是一个与输入信号同频率的正弦信号，只是幅值变为输入正弦信号幅值的 倍，相位则滞后了 。,上述结论具有普遍意义。事实上，一般线性系统
4、(或元件)输人正弦信号 的情况下，系统的稳态输出（即频率响应） 也一定是同频率的正弦信号，只是幅值和相位不一样。,对输出、输入正弦信号的幅值比 和相位差 作进一步研究不难发现，在系统结构参数给定的时，A和 仅是 的函数（即输出信号的幅值和相角是频率的函数，随频率而变化），它们反映出线性系统在不同频率下的特性，分别称为幅频特性和相频特性，分别以 和 表示。,总结：,频率响应：线性定常控制系统或元件对正弦输入信号（或谐波信号）的稳态正弦响应。,频率特性：系统在不同频率的正弦信号输入时，其稳态输出随频率变化而变化(由0变到)的特性，包括幅频特性和相频特性两部分，记作 或 。,幅频特性：当频率由0到变
5、化时，其稳态输出（频率响应）的幅值与输入信号的幅值比，记为 。,相频特性：当频率由0到变化时，输出信号与输入信号的相位之差，记为()。,考虑线性定常系统：,若系统稳定，其特征根为 si ，在零初始状态下，当正弦输入 xi(t)=Xisint 时，假设系统只具有不同的极点，则相应的输出为：,二、频率特性与传递函数的关系,Ai(i = 1, 2, , n)为待定常数。,利用拉式反变换，从而：,对稳定的系统而言，这些项随 t 趋于无穷大时都趋近于零。,因此，系统的稳态响应为：,其中：,已知：,因此：,因 ，所以 为系统的频率特性，而 可直接将 中的s以 代之而得到。这就说明了传递函数与频率特性之间的
6、关系。,上述推导表明，线性系统在正弦信号作用下，其输出量的稳态分量的频率与输入信号相同，其幅值 ，相位差为 ，即 ， 。,法一：由频率响应求频率特性（定义法）,法二：由传递函数求频率特性（j 替代法）,解：,对于正弦输入xi(t)=Xisint ，根据频率特性的定义：,频率特性的物理意义：频率特性表征了系统或元件对不同频率正弦输入的响应特性；,()大于零时称为相角超前，小于零时称为相角滞后。,三、频率特性表示方法,1、代数式,式中： 为实频特性， 为虚频特性。 幅频特性 相频特性,2、三角函数式,3、极坐标式,4、复指数式,解析表示,图示法: Nyquist图(极坐标图，幅相频率特性图) Bo
7、de图(对数坐标图，对数频率特性图),四、频率特性的特点,1、频率特性是系统单位脉冲函数(t)的Fourier变换。,3、许多情况下，频域分析法比时域分析法容易 。,2、时域分析针对过渡过程，频域分析针对稳态响应。,4、对于高阶系统，频域分析法比时域分析法容易 。,5、在设计系统时，频域分析法有利于抑制噪声。,一、频率特性的极坐标图(Nyquist图、幅相频率特性图）,5.2 频率特性的极坐标（Nyquist）图描述,幅相频率特性是在 复平面上研究的，当从0到+变化时，向量G(j)端点的变化曲线（轨迹），称为系统的幅相频率特性曲线，得到的图形称为系统的奈（耐、乃）奎（魁）斯特图（Nyquist
8、曲线）或极坐标图。它一方面表示了幅值与频率、相位与频率的关系特性，同时也表示了实频和虚频的变化特性。,注意，由系统的频率特性计算相频特性时，首先要计算系统的实频特性和虚频特性，然后估计系统的奈奎斯特图在哪些象限：如在第一、四象限（对应反正切值域），则可利用()式进行计算，如奈奎斯特图在其它象限，则应将()式180 。,其中，U()、V()分别称为系统的实频特性和虚频特性。显然幅频特性、相频特性为：,1、比例环节,二、典型环节的奈奎斯特图,传递函数：G(s) = K,频率特性：G(j) = Kej0= K,实频特性：U() = K,虚频特性：V() = 0,幅频特性：A() = K,相频特性：(
9、) = 0,2、积分环节,传递函数：,频率特性：,实频特性：,虚频特性：,幅频特性：,相频特性：,3、微分环节,传递函数：,频率特性：,实频特性：,虚频特性：,幅频特性：,相频特性：,4、惯性环节,传递函数：,频率特性：,实频特性：,虚频特性：,幅频特性：,相频特性：,5、一阶微分环节（导前环节）,传递函数：,频率特性：,实频特性：,虚频特性：,幅频特性：,相频特性：,6、振荡环节,传递函数：,频率特性：,实频特性：,虚频特性：,当 = 0时，,当 = n时，,当 = 时，,幅频特性：,相频特性：,？,谐振现象,由振荡环节的幅频特性曲线可见，当 较小时，在 = n附近，A()出现峰值，即发生谐
10、振。谐振峰值 Mr 对应的频率r 称为谐振频率。,由于：,所以：,解得：,即：,显然r 应大于0，由此可得振荡环节出现谐振的条件为：,谐振峰值：,7、 二阶微分环节,传递函数：,频率特性：,幅频特性：,相频特性：,实频特性：,虚频特性：, = 0时，, = 1/T时，, = 时，, n= 1/T,当三条曲线的频率特性中T相同、 不同时，比较三者的n大小及 大小？,8、延时环节,传递函数：,频率特性：,实频特性：,虚频特性：,幅频特性：,相频特性：,三、奈奎斯特图的绘制,（一）系统开环Nyquist图绘制的基本步骤：,1、由G(s)写出U()、V()，由U、V的表达式估算曲线在哪些象限，再写出A
11、()、 ()；若G(s)太复杂（二个以上经典环节串联），则应： （1）将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式：,（2）求系统的频率特性：,即：,2、算出起、终点的A 、U、V ，再令U() =0、V() =0算出曲线与坐标轴的交点的A、 （至少26个特殊点）；,3、依据U()、V()的表达式估算出的曲线在哪些象限，同时依据特殊点的坐标，画出曲线。,解：,估计曲线位于第二、三象限。,0： A(0),： A()0,(0)90,()270,解得：,绘制系统开环Nyquist图为:,由于估计的耐氏曲线位于第二、三象限，因此曲线必过负虚半轴，即,U()-7,考虑如下系统：,（二）系统开环Nyquis
12、t图绘制的规律：,的m次方,的n次方,开环幅相曲线的起点 完全由 确定，而终点 则由 来确定。,起点仅和K、v有关。,终点仅和m、n有关。,0型系统（v = 0）,0： A(0)K,： A()0,(0)0,()(nm)90,I型系统（v = 1）,0：,：,(0)90,()(nm)90,A()0,A(0),II型系统（v = 2）,此规律仅适合分析耐氏曲线的起终点位置，若要绘制整个曲线，则应计算出更多特殊点位置。,n-m=1,开环含有v(v1)个积分环节系统，Nyquist曲线起始于幅角为v90的无穷远处。（下图左）,n m时，Nyquist曲线终点幅值为 0 ，而相角为(nm)90。（下图右
13、）,一、伯德(Bode)图（对数频率特性图，包括对数幅频特性图和对数相频特性图）,5.3 频率特性的对数坐标（Bode）图描述,伯德图包含两部分图：对数幅频特性图、对数相频特性图。通常用L()简记对数幅频特性，也称L()为增益；用()简记对数相频特性。,对数幅频特性图,横坐标：以10为底的对数分度表示的角频率，单位：rad/s或Hz。通常也采用频率比的概念：频率变化十倍的区间称为一个十倍频程，记为decade或简写为dec，它们也用作频率变化的单位。（注意，横坐标无始无终。）,纵坐标：线性分度，表示幅值A()对数的20倍，即：L()=20lgA() ，单位：分贝（dB）。,特别地，当L()=0
14、，输出幅值输入幅值； 当L()0时，输出幅值输入幅值(放大)； 当L()0时，输出幅值输入幅值(衰减)。,Bode图是在半对数坐标系上绘制出来的。横坐标采用对数刻度，纵坐标采用线性的均匀刻度。,对数幅值图的曲线中，常用 dB/dec 这种单位。,对数相频特性图,横坐标：与对数幅频特性图相同。,纵坐标：线性分度，频率特性的相角()，单位： 度(),对数幅频特性图与对数相频特性图合起来称为频率特性的对数坐标图，又称波（伯）德（Bode）图。为了方便直观比较，通常这两张图上下对齐排列。,对数坐标的优点：,幅值相乘、相除，变为相加，相减，简化作图；,对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范围（低频拉伸，高频
15、压缩）；,两系统或环节的频率特性互为倒数时，其对数幅频特性曲线关于零分贝线对称，对数相频特性曲线关于零度线对称；,可以利用渐近直线绘制近似的对数幅频特性曲线；,可分别作出各典型环节的波德图，再用叠加的方法得出系统总的波德图，之后易知各环节对系统总特性的影响；,1、比例环节,二、典型环节的伯德图,传递函数：G(s) = K,频率特性：G(j) = K,对数幅频特性：L() = 20lgK,对数相频特性：() = 0,() 到底是相频特性还是对数相频特性？,2、 积分环节,传递函数：,频率特性：,对数幅频特性：,对数相频特性： () = -90,当1时， ， 当10时 ， ,3、微分环节,传递函数
16、：,频率特性：,对数相频特性： () = 90,对数幅频特性：,当1时， ， ； 当10时， ， 。,4、惯性环节,传递函数：,频率特性：,低频段( 1/T ),即低频段可近似为0dB的水平线，称为低频渐近线。,对数相频特性： () = - arctgT,对数幅频特性：,对数幅频曲线,转折频率（ 1/T ),低频渐近线和高频渐近线的相交处的频率点 1/T，称为转折频率（截止频率），记作 。,() = - arctgT当0时， () 0； 当 时， () - 45； 当时， () - 90。 对数相频特性是一条反正切函数曲线，所以相位曲线关于() - 45 弯点是斜对称的。,对数相频曲线,高频段( 1/T ),即高频段可近似为斜率为-20dB
