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1、3.1 微分中值定理,罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理,第三章 微分中值定理与导数的应用,费马定理 设函数 f (x)在a , b上有定义，并且在点 c(a , b)取到最值， f (x)在点c可导，则 f (c)=0。,证明：不失一般性。设 f (x)在点 x = c 取到最大值，则 f (x) f(c)，x(a,b)。,从而 f (c)=0。,一、罗尔(Rolle)定理 P126,例1,证,罗尔定理的三个条件，缺一不可.,例如,洛尔定理指出了点的存在性，但不能确定它的位置。,注:,使,定理可推广,在 ( a , b ) 内可导, 且,在( a , b ) 内至少存在一点,证明提示:
2、 设,证 F(x) 在 a , b 上满足罗尔定理 .,例2,证,由介值定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 P127,几何解释:,分析:,弦AB方程为,作辅助函数,拉格朗日中值公式,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,证,证法二,F(x)在闭区间a,b上连续,在开区间(a,b)内可导,由R-定理知:,拉格朗日中值定理又称有限增量定理.,微分中值定理,拉格朗日中值公式的有限增量公式形式：,推论,证明：设x1,x2是(a, b)内任意两点，由L-定理,(在x1,x2之间),由x1, x2的任意性知:
3、 f (x)=常数, x(a, b) . 证毕!,(设区间I为: (a,b),例5,证,例6,证,由上式得,求证存在,使,设,可导，且,在,连续，,证：,因此至少存在,显然,在 上满足罗尔定理条件,即,设辅助函数,使得,设,证明对任意,有,证：,不妨设,三、柯西(Cauchy)中值定理,分析:,及,(1) 在闭区间 a , b 上连续,(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导,(3)在开区间 ( a , b ) 内,至少存在一点,使,满足 :,要证,证: 作辅助函数,且,使,即,由罗尔定理知, 至少存在一点,思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?,两个 不 一定相同,错!,上面两式相比即得结论
4、.,柯西定理的几何意义:,注意:,弦的斜率,切线斜率,例,证,结论可变形为,也可以用罗尔定理来证,例8 设f(x)在a, b上可微，且ab0，求证：,(ab),证明 令, a, b同号，故x=0不在(a, b)内;,(x),g(x)在(a, b)内可微。,由柯西中值定理,例. 试证至少存在一点,使,证:,法1 用柯西中值定理 .,则 f (x) , F(x) 在 1 , e 上满足柯西中值定理条件,令,因此,即,分析:,例. 试证至少存在一点,使,法2 令,则 f (x) 在 1 , e 上满足罗尔中值定理条件,使,因此存在,内容小结,1. 微分中值定理的条件、结论及关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,2. 微分中值定理的应用,(1) 证明恒等式,(2) 证明不等式,(3) 证明有关中值问题的结论,关键: 利用逆向思维 设辅助函数,费马引理,思考,2、证明,解答,2o 对f(x)在b, a上用拉格朗日公式 ,即,证明 1o 由所要证明的不等式选定一函数f(x) 及定义区间: 令 f(x)=lnx , xb, a.,1、 B .,2、,补充,
