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8.2 偏导数与全微分,偏导数 全微分,一 偏导数,1 定义,若,存在，,记为,，,若,（水平变化率）,存在，,记为,，,则在区域D上有偏导函数,例3 设,求,解,解,解,注：,例如：,但是,2 高阶偏导数,一阶偏导数:,二阶偏导数:,（二阶混合偏导数）,三阶偏导数:,解,注：并非所有函数的二阶混合偏导数都相等。,例如：,（简言之：二阶混合偏导数连续，必相等。）,二 全微分,1 定义,，即,规定,注：,从而,？,证,由可微的定义有,因此,所以,注：若,在区域D上可微，,则有函数的微分,解,解,2 可微、偏导数、连续之间的关系,可微,偏导数存在,定理2,连续,证,由可微的定义及定理2有,因此,即,记,则有,例9,证明函数,在点,处连续，且偏导数存在，但不可微。,证,假设,在点,处可微，,则,即,于是,定理4 设,的偏导数,在点,处连续，,则,在点,处可微。,证,而且,即,小结：,可微、偏导数、连续之间的关系,
