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1、1,小结 思考题 作业,型的方程,型的方程,型的方程,5.5 可降阶的高阶微分方程,第5章 微分方程,应 用,2,一、 型的方程,特点,是未知函数 y 的n 阶导数,且不含未知函数 y 及其,两边积分,接连积分n次,右端是,自变量x的一个已知函数,导数,左端,再积分,得到含有n个任意常数的通解.,3,例 求解方程,解,将方程积分三次,得,最后得到的就是方程的通解.,5,例 解方程,因方程中不含未知函数y,解,令,代入原方程, 得,p的可分离变量的一阶方程,由初始条件,知C1= 4,所以,y的分离变量方程,6,再由初始条件,知C2 = 1,故所求解为,7,令,求出通解后,只须作变换,再积分k次,
2、 即可求得原方程的通解.,方程就可化为,阶方程,8,例 解方程,解,令,则方程变为,由分离变量法解得,于是,所以原方程的通解为,积分4次,可分离变量方程,9,求微分方程,满足初始条件,的特解.,考研数学二, 10分,解,令,代入原方程, 得,一阶线性方程,因方程中不含未知函数y,即,于是,故,练习,10,求微分方程,满足初始条件,的特解.,考研数学二, 10分,应取,即,解得,故,例,11,特点,解法,方程缺自变量x,三、 型的方程,则,方程变成,这是关于变量y, p 的一阶方程.,设它的通解为,分离变量并积分,得通解为,设,12,解,代入原方程,例,可分离变量方程,即,可分离变量方程,13,
3、微分方程,满足条件,的特解是,或,解,可分离变量方程,即,练习,注,有些高阶方程也可用类似于“凑全微分”,的方法求解.,考研数学一, 3分,14,例,解,该几何问题可归结为如下的微分方程的,故所得曲线为,相切的积分曲线.,初值问题:,两边积分, 得,两边再积分一次, 得,四、应 用,15,上述两直线与 x 轴围成的三角形,例,过曲线y = y(x)上任一点 P(x, y)作该曲线的,切线及 x 轴的垂线,区间0, x上以 y(x)为曲边的曲边梯形面,解,于是,设曲线y = y(x)在点 P(x, y)处的切线倾角为 ,求y = y(x)满足的方程 .,面积记为S1,积记为S2,16,再利用 y
4、(0) = 1 得,利用,得,两边对x求导, 得,初始条件,方程化为,利用初始条件得,故所求曲线方程为,初始条件,17,求微分方程,的积分曲线, 使,该积分曲线过点,且在该点的切线斜率为2.,解,方程,代入方程,得,所求积分曲线为,练习,18,五、小结,解法:,通过代换将其化成较低阶的方程来求解.,三种类型的可降阶的高阶微分方程,19,思考题,解,积分方程,过曲线 y = f (x)上点( x, f (x)处的切线,考研数学一, 8分,方程为,得切线在y轴上的截距,求 f (x),的一般表达式.,20,积分方程,两边对x求导,即,代入上式, 得,可分离变量方程,微分方程,21,可分离变量方程,分离变量并积分,得,再积分, 得,即为所求.,22,作 业,习题5.5(168页),
