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1、5.3平面向量的数量积和运算律,高效梳理,平面向量的数量积,与平面向量的数量积有关的结论 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2).,向量的数量积与数的乘法的区别 两向量的数量积是两向量之间的一种乘法,与数的乘法是有区别的. (1)两个向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积,其符号由夹角的余弦值决定. (2)当a0时,由ab=0不能推出b一定是零向量.这是因为对任一与a垂直的非零向量b,都有ab=0.,(3)ab=bca=c. (4)一般地,a(bc)(ab)c.这是由于bc和ab都是实数,而a与c不一定共线. (5)对于实数ab,有|ab|=|a|b|
2、,但对于向量ab,有|ab|a|b|.,利用数量积求长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理方法 (1)|a|2=a2=aa; (2)|ab|2=(ab)2=a22ab+b2; (3)若a=(x,y),则|a|= .,两个向量的夹角 (1)定义:已知两个非零向量a和b,作 =a, =b,则AOB称作向量a与向量b的夹角,记作. (2)范围:向量夹角的范围是0,且=.,考点自测,1.下列四个命题中真命题的个数为() 若ab=0,则ab; 若ab=bc且b0,则a=c; (ab)c=a(bc); (ab)2=a2b2. A.4 B.2 C.0 D.3,解析:ab=0时,ab或a=0或b=0
3、.故命题错. ab=bc,b(a-c)=0, 又b0,a=c或b(a-c), 故命题错误. ab与bc都是实数,故(ab)c是与c共线的向量,a(bc)是与a共线的向量, (ab)c不一定与a(bc)相等. 故命题不正确. (ab)2=(|a|b|cos)2=|a|2|b|2cos2|a|2|b|2=a2b2,故命题不正确.,答案:C,2.若a与b-c都是非零向量,则“ab=ac”是“a(b-c)”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,答案:C,答案:C,4.已知|a|=1,|b|= ,且a(a-b),则向量a与b的夹角是_.,5.已知
4、i,j为互相垂直的单位向量,a=i-2j,b=i+j,且为锐角,则实数的取值范围是_.,题型突破,题型一tixingyi利用数量积求向量的夹角,规律方法:本题也可用坐标法表示同量,或利用加法的几何意义解答.,创新预测1已知ab都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角.,解析:由已知:(a+3b)(7a-5b)=0,(a-4b)(7a-2b)=0. 即7a2+16ab-15b2=0, 7a2-30ab+8b2=0, 两式相减,得2ab=b2.,题型二tixinger利用数量积求向量的模 【例2】已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120. (1)计
5、算:|a+b|;|4a-2b|. (2)当k为何值时,(a+2b)(ka-b)?,规律方法:(1)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理方法: |a|2=a2=aa; |ab|2=a22ab+b2; 若a=(x,y),则|a|= . (2)对于非零向量a,b,ab ab=0是非常重要的性质,它对于解决平面几何图形中有关垂直问题十分有效,应熟练掌握,若两非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx1x2+y1y2=0.,创新预测2已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61. (1)求a与b的夹角; (2)求|a+b|; (3)若 =a, =b
6、,求ABC的面积.,题型三tixingsan利用数量积求解垂直问题 【例3】在ABC中, =(2,3), =(1,k),且ABC的一个角为直角,求k的值.,规律方法:三角形一内角为直角,不能确定哪个角为直角,因此要分三种情况分别来解,在求解的过程中,要弄清直角应为哪两个向量的夹角，然后求这个向量的坐标.,题型四tixingsi平面向量的数量积与三角函数的交汇 【例4】已知ABC的坐标分别为A(4,0),B(0,4),C(3cos,3sin). (1)若(-,0)且| |=| |,求角的值; (2)若 =0,求,规律方法:向量与三角函数相结合是高考命题的热点,解题的基本思路是,根据向量的基本运算
7、对条件进行转化,然后通过三角诱导公式或和差公式对式子进行化简,再求值或研究其性质.,创新预测4已知向量m=(2sinx,cosx),n=( cosx,2cosx),定义函数f(x)=loga(mn-1)(a0,a1). (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)确定函数f(x)的单调递增区间.,对接高考,1.(2008宁夏)已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),a+b与a垂直,则=() A.-1 B.1 C.-2 D.2,解析:a+b=(+4,-3-2). a+b与a垂直,(a+b)a=10+10=0. =-1.,答案:A,答案:D,答案:A,方法二:本题如果采用建立直角坐标系,运用
8、向量数量积的坐标运算较为简单,建立如图所示的直角坐标系,根据题设条件即可知A(0,3),B(- ,0),M(0,2),答案:-2,高效作业,一选择题,1.(2009福建)设a,b,c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足a与b不共线,ac,|a|=|c|,|bc|的值一定等于() A.以a,b为邻边的平行四边形的面积 B.以b,c为邻边的平行四边形的面积 C.以a,b为两边的三角形的面积 D.以b,c为两边的三角形的面积,答案:A,解析:设=,(0,), = ,= -. 以a,b为邻边的平行四边形面积为|a|b|sin, 而|bc|=|b|c|cos( -)|=|b|c|sin,
9、又|a|=|c|,|bc|=|a|b|sin.,2.(2009全国)设非零向量abc满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则=() A.150 B.120 C.60 D.30,答案:B,解析:如图所示. |a|=|b|=|c|,OAB是正三角形. =120.,3.(2009辽宁)平面向量a与b的夹角为60,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|等于( ) A. B.2 C.4 D.2,答案:B,答案:A,5.(2009福建福州三中模拟)已知点O为ABC所在平面内一点,且 则O一定为ABC的() A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心,答案:C,答案:B,二填空题,7.(2009上海十校联
10、考)已知平面上直线l的方向向量d=(3,-4),点O(0,0)和A(4,-2)在l上的射影分别是O1和A1,则|O1A1|=_.,答案:4,答案:0,9.(2009福建龙岩质检)设向量a,b满足|a-b|=2,|a|=2,且a-b与a的夹角为 ,则|b|=_.,答案:2,三解答题,10.(2009山东日照3月模拟)若a,b是两个不共线的非零向量,tR. (1)若a,b起点相同,t为何值时,a,tb, (a+b)三向量的终点在一直线上? (2)若|a|=|b|且a与b夹角为60,t为何值时,|a-tb|的值最小?,11.(2009江苏)设向量a=(4cos,sin),b=(sin,4cos),c=(cos,-4sin). (1)若a与b-2c垂直,求tan(+)的值; (2)求|b+c|的最大值; (3)若tantan=16,求证:ab.,12.(2009安徽安庆三模)a=(sinx, ),b=(cosx,-1). (1)当a与b共线时,求2cos2x-sin2x的值; (2)求f(x)=(a+b)b在 上的值域.,
