《微积分5-8多元函数的极值与最大(小)值资料教程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微积分5-8多元函数的极值与最大(小)值资料教程（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5.9 多元函数的极值与最大(小)值,一、无条件极值,使函数取得极值的点称为极值点.,极大值、极小值统称为极值.,例1,例,例,（极值的必要条件）,证, 偏导数不存在的点也可能是极值点.,例,点(0, 0)是 z 的极小值点，,但zx(0,0), zy(0,0)不存在.,有一阶及二阶连续偏导数，,为极大值，,为极小值，,不是极值。,求由方程,解,函数在P有极值.,第一步 解方程组,求出实数解，得驻点.,第二步 对于每一个驻点 ，,求出二阶偏导数的值A、B、C.,第三步 定出 的符号，再判定是否是极值.,二、有界闭区域上的最大值与最小值,设 f (x,y) 在某一有界闭区域D上连续，那么 f (
2、x,y),必在D上取得最大值与最小值.,则必为极值点.,与一元函数类似可得出:,最值点若在D的内部，,但 f (x,y) 的最大值与最小值点，也可能在边界上.,设 f (x,y) 在D上连续，在D内可微且有有限个驻点，,求 f (x,y)在有界闭区域D 上的最大值与,10 求出 f (x,y) 在D内的所有驻点以及驻点处的函数值；,20 求出 f (x,y) 在边界上的最大值与最小值；,30 将10和20中所求出的函数值进行比较，其中最大,的就是 f (x,y) 在D上的最大值，最小的就是最小值.,最小值的一般步骤:, 对于实际问题，如果由问题的性质，知 f (x,y),的最大(小)值一定在D
3、内取得，而 f 在D内又只有,一个驻点，则可肯定该 点处的函数值就是 f 在,D上的最大(小)值.,上的最大值与最小值,解,如图:,先求函数在D内的驻点，,解方程组,得区域D内唯一驻点(2,1),比较后可知 为最大值,三、条件极值 拉格朗日乘数法,所谓条件极值问题，是指求某个函数的极值，但其,中的变量受到一些条件的约束，有约束的极值问题,称为条件极值问题；无约束的极值问题称无条件极,值问题.,称为目标函数；,称为约束条件.,拉格朗日乘数法,求目标函数：,设M0(x0, y0)为所求的极值点，且在点M0的某一邻,域内 f 和 有连续的一阶偏导数，,由隐函数存在定理知，由 确定了单值,可导函数 将其代入 得：,极值的必要条件：,拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：,可由 解出可能的极值点的坐标,解,则,切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体,解,设 为椭球面上一点,过 的切平面方程为,化简为,该切平面在三个轴上的截距各为,所围四面体的体积,在条件 下求 的最小值,即,( ， ， )时,当切点坐标为,四面体的体积最小,
