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1、第八章,第六节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方向导数和梯度,一、方向导数,二、梯度的概念,一、方向导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 方向导数,方向导数的定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,l, y, x,l z,P,P,z = f (x,y),Q,M,是曲面在 点P处沿方向l 的变化率， 即半切线,方向导数,.,方向导数的几何意义,的斜率,N,机动 目录 上页 下页 返回 结束,复习偏导数的几何意义,证明,由于函数可微，则增量可表示为,两边同除以,得到,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故有方向导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,机动 目录 上页 下页 返回
2、 结束,说明：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,问题：沿任何方向方向导数存在，能否保证 偏导数存在？,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明：,解：,则法线的斜率为,从而法线的方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则法向量为,内法向量为,方向余弦为,又,故所求方向导数为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三元函数方向导数的定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,问题：,二、梯度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(gradient),(del),说明：,机动
3、目录 上页 下页 返回 结束,例4.,解1：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解2：,类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值。,梯度的概念可以推广到三元函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,梯度的基本运算公式,等高线的画法,播放,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在几何上,该曲面被平面,称为函数 f 的等高线 .,所截得的曲线,表示一个曲面,补充*：等高线,复习: 平面曲线的切线与法线,若平面光滑曲线方程为,故在点,切线方程,法线方程,有,因,机动 目录 上
4、页 下页 返回 结束,即,即平面曲线,在点,的法向量为,等值（高）线,梯度为等高线上的法向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,梯度与等高线的关系：,等值（高）线,梯度为等高线上的法向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三元函数的等值面及与梯度的关系,解,例5：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、内容小结,1. 方向导数, 三元函数,在点,沿方向 l (方向角,的方向导数为, 二元函数,在点,的方
5、向导数为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 梯度, 三元函数,在点,处的梯度为, 二元函数,在点,处的梯度为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方向导数存在,偏导数存在, 可微,习题7-6(P96) 4，6，7，9，11,作业,第八节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 1.,函数,在点,处的梯度,解:,则,注意 x , y , z 具有轮换对称性,(92考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .,在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A,2. 函数,提示:,则,(96考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页
6、 下页 返回 结束,解： (1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,解： (2),解：,由梯度计算公式得,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5、,证:,试证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由一元函数导数的几何意义：,z= f (x,y),L：,L,= tan,偏导数的几何意义,.,y =y0,同理，,.,M,Tx,固定 y =y0,机动 目录 上页 下页 返回 结束,M,z= f (x,y),L,x =x0,固定 x =x0,Tx,.,偏导数的几何意义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,M,由一元函数导数的几何意义：,z= f (x,y),L,= tan,.,x =x0,固定
7、x =x0,Tx,Ty,.,偏导数的几何意义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,等高线的画法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在几何上,该曲面被平面,称为函数 f 的等高线 .,所截得的曲线,表示一个曲面,补充*：等高线,等高线的画法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在几何上,该曲面被平面,称为函数 f 的等高线 .,所截得的曲线,表示一个曲面,补充*：等高线,等高线的画法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在几何上,该曲面被平面,称为函数 f 的等高线 .,所截得的曲线,表示一个曲面,补充*：等高线,等高线的画法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在几何上,该曲面被平面,称为函
8、数 f 的等高线 .,所截得的曲线,表示一个曲面,补充*：等高线,等高线的画法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在几何上,该曲面被平面,称为函数 f 的等高线 .,所截得的曲线,表示一个曲面,补充*：等高线,等高线的画法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在几何上,该曲面被平面,称为函数 f 的等高线 .,所截得的曲线,表示一个曲面,补充*：等高线,等高线的画法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在几何上,该曲面被平面,称为函数 f 的等高线 .,所截得的曲线,表示一个曲面,补充*：等高线,等高线的画法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在几何上,该曲面被平面,称为函数 f 的等高线 .,所截得的曲线,表示一个曲面,补充*：等高线,等高线的画法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在几何上,该曲面被平面,称为函数 f 的等高线 .,所截得的曲线,表示一个曲面,补充*：等高线,
