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1、第三节 曲面及其方程,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱面,四、二次曲面,五、小结,水桶的表面、台灯的罩子面等,曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹,曲面方程的定义：,曲面的实例：,一、曲面方程的概念,以下给出几例常见的曲面.,解,根据题意有,所求方程为,特殊地：球心在原点时方程为,*【例 3】方程 的图形是怎样的？,根据题意有,图形上不封顶，下封底,【解】,例. 研究方程,解: 配方得,可见此方程表示一个球面,说明:如下形式的三元二次方程 ( A 0 ),都可通过配方研究它的图形.,其图形可能是,的曲面.,表示怎样,半径为,球心为,一个球面, 或点, 或虚轨迹.,以上几例表明研究空
2、间曲面有两个基本问题：,（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状,（讨论旋转曲面）,（讨论柱面、二次曲面）,（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程,二、旋转曲面,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,定义,这条定直线叫旋转 曲面的轴,播放,旋转过程中的特征：,如图,将 代入,将 代入,得方程,解,圆锥面方程,三、柱面,定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线C 叫柱面的准线（不唯一），动直线 L叫柱面的母线.,L,C,柱面举例,抛物柱面,平面,从柱面方程看柱面的特征：,（其他类推）,实 例,椭圆柱面
3、 / 轴,双曲柱面 / 轴,抛物柱面 / 轴,【结论】柱面的方程是 x，y，z 的二元方程，且与其准线方程相同.,二次曲面的定义：,三元二次方程所表示的曲面称之,相应地平面被称为一次曲面,讨论二次曲面性状的截痕法：,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌,以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面,四.二次曲面,(1) 椭圆锥面,-,o,以平面 z=t 截此曲面 当 t=0 时得一点(0,0,0) 当 时,得平面上的 椭圆,以平面 z=t 截此曲面 当 t=0 时得一点(0,0,0) 当 时,得平面上的 椭圆,（2）椭球面,椭球面与三个坐标
4、面的交线：,椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.,椭球面与平面 的交线为椭圆,同理与平面 和 的交线也是椭圆.,（3）单叶双曲面,单叶双曲面,用坐标面 与曲面相截,截得中心在原点 的椭圆.,与平面 的交线为椭圆.,当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上.,用坐标面 与曲面相截,截得中心在原点的双曲线.,实轴与 轴相合，虚轴与 轴相合.,双曲线的中心都在 轴上.,与平面 的交线为双曲线.,实轴与 轴平行,虚轴与 轴平行.,实轴与 轴平行,虚轴与 轴平行.,截痕为一对相交于点 的直线.,截痕为一对相交于点 的直线.,用坐标面 ， 与曲面相截,均可得双曲线.,单叶双曲面图形,平面 的截痕是两对相交直
5、线.,双叶双曲面,（4）双叶双曲面,（5）椭圆抛物面,（ 与 同号）,椭圆抛物面,用截痕法讨论：,用坐标面 与曲面相截,截得一点，即坐标原点,设,原点也叫椭圆抛物面的顶点.,与平面 的交线为椭圆.,当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上.,与平面 不相交.,用坐标面 与曲面相截,截得抛物线,与平面 的交线为抛物线.,它的轴平行于 轴,顶点,用坐标面 ， 与曲面相截,均可得抛物线.,同理当 时可类似讨论.,椭圆抛物面的图形如下：,特殊地：当 时，方程变为,旋转抛物面,（由 面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的）,与平面 的交线为圆.,当 变动时，这种圆的中心都在 轴上.,（ 与 同号）,双曲抛物面（马
6、鞍面）,用截痕法讨论：,设,图形如下：,（6）双曲抛物面,抛物柱面,椭圆柱面,还有以下三种柱面:,双曲柱面,【补充】双曲面的渐进锥面,单叶：,双叶：,渐进锥面：,在平面上，双曲线有渐近线。 相仿，单叶双曲面和双叶双曲面 有渐近锥面。 用z=h去截它们，当|h|无限增大时， 双曲面的截口椭圆与它的渐近锥面 的截口椭圆任意接近，即： 双曲面和锥面任意接近。,直纹面在建筑学上有意义,含两个直母线系,例如，储水塔、 电视塔等建筑都 有用这种结构的。,.,【补充】单叶双曲面是直纹面,含两个直母线系,【补充】双曲抛物面是直纹面,n次齐次方程,F(x,y,z)= 0,的图形是以原点为顶点的锥面；,方程 F(
7、x,y,z)= 0是 n次齐次的：,准线,顶点,n次齐次方程,F(x,y,z)= 0.,反之，以原点为顶点的锥面的方程是,锥面是直纹面,t是任意数,【补充】一般锥面,五、小结,曲面方程的概念,旋转曲面的概念及求法.,柱面的概念(母线、准线).,思考题,指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？,思考题解答,平面解析几何中,空间解析几何中,斜率为1的直线,方程,二、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.
8、,这条定直线叫旋转 曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的
9、曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条
10、直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,L,C,这条定曲线C 叫柱面的准线（不唯一），动直线 L叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,L,C,这条定曲线C 叫柱面的准线（不唯一），动直线 L叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,L,C,这条定曲线C 叫柱面的准线（不唯一），动直线 L叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察
11、柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,L,C,这条定曲线C 叫柱面的准线（不唯一），动直线 L叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,L,C,这条定曲线C 叫柱面的准线（不唯一），动直线 L叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,L,C,这条定曲线C 叫柱面的准线（不唯一），动直线 L叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,L,C,这条
12、定曲线C 叫柱面的准线（不唯一），动直线 L叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,L,C,这条定曲线C 叫柱面的准线（不唯一），动直线 L叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,L,C,这条定曲线C 叫柱面的准线（不唯一），动直线 L叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,L,C,这条定曲线C 叫柱面的准线（不唯一），动直线 L叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,L,C,这条定曲线C 叫柱面的准线（不唯一），动直线 L叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,L,C,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆 绕 轴旋转而成,旋转椭球面与椭球面的区别：,方程可写为,与平面 的交线为圆.,球面,截面上圆的方程,方程可写为,
