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1、基本概念,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,一、一阶线性微分方程,例如,线性的;,非线性的.,形如,齐次方程的通解为,2、一阶齐次线性微分方程的解法,(使用分离变量法),（C为任意常数）,3. 线性非齐次方程解法,讨论,两边积分,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比:,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,一阶非齐次线性微分方程的求解步骤：,Step1：首先求对应的齐次线性微分方程的通解,Step2：利用常数变易法将齐次线性微分方程解中 的c变成c(x),即：,代入原方程得,即得到非齐次线性方程的通解为：,解,例1,解,例2,若将y看成函数，x作为变量，则方程不是一阶线性方程；所以将x看成函数，y作为变量，则原方程化为：,然后令,解,例3,练习：,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,二、贝努利方程(可化为一阶线性方程的方程),求出通解后，将 代入即得,代入上式,解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.,解,例 4,又,所以,为原方程的通解。,例5 用适当的变量代换解下列微分方程:,解,所求通解为,解,分离变量法得,所求通解为,思考题,求微分方程 的通解.,思考题解答,
