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1、拉普拉斯变换简介,拉普拉斯变换定义,拉普拉斯变换的来源,一个函数在满足绝对可积条件时，才能进行傅立叶变换。,函数不满足绝对可积条件的情况有： （1）周期函数不满足绝对可积条件； （2）有些函数在 t 0 时没有意义。,要解决这两类函数的变换问题，构造了一个新的被变换的原象函数,u ( t ) ,1 t 0,0 t 0,（单价阶跃函数）,et ( 0 ) （指数衰减函数）,用u ( t ) 乘以 x ( t ) ，使积分区间变为 0 , ；,用et 乘以 x ( t ) ，使得函数成为绝对可积。,对新构造的原象函数做傅立叶变换,令x ( t ) u ( t ) f ( t ),令 s j,设这个
2、新的变换为拉普拉斯变换，记为,如果 0，积分下限为，拉氏变换就转换为傅氏变换。因此，傅氏变换是拉氏变换的一个特例。,第三节 测试装置动态特性的数学描述,作为定常（时不变）线性系统的测试装置，用前面介绍过的常系数微分方程来描述该系统，以及它和输入 x ( t ) 、输出 y ( t )之间的关系，使用时不太方便。,因此，通常用拉氏变换建立其相应的传递函数，再通过傅氏变换建立其相应的频率响应函数，以便更简单地描述测试装置或系统的特性。,一、传递函数 设常系数微分方程为,对这个常系数微分方程两边做拉氏变换，根据拉氏变换的微分特性，进行拉氏变换后得到,注意：这个常系数微分方程未给出初始条件，我们可以认
3、为它的初始条件为零。,把上式整理后得到,令,上式可写成,即,传递函数是系统初始条件为零条件下输入、输出两者拉氏变换之比。,二、频率响应函数,传递函数是在复数域中来描述和考察系统的特性。 频率响应函数则是在频率域中描述和考察系统的特性。,1. 幅频特性、相频特性和频率响应函数,根据定常线性系统的频率保持特性，系统在简谐信号 x ( t )=X0sin t 的激励下，所产生的稳态输出也是简谐信号 y(t) = Y0 sin (t + ) 。,这时输入和输出虽为同频率的简谐信号，但两者的幅值并不一样，而且其幅值比 A 随激励信号的频率 变化。,两者的相位差 也随激励信号的频率 变化,因此，定常线性系
4、统在简谐信号的激励下，其稳态输出信号和输入信号的幅值比A被定义为该系统的幅频特性，记为A ( )；稳态输出对输入的相位差被定义为该系统的相频特性，记为 ( )。,两者统称为系统的频率特性。,对于任何一个复数 z a + j b ，可以表达为,它表示可将某个模和相角两个量组成一个复数。,参照以上形式，构造一个复数,即 H ( )是以A ( )为模、 ( ) 为相角的复数。显然H ( )表示了系统的频率特性。,由于H ( )是激励频率 的函数，将H ( )称为系统的频率响应函数。,2. 频率响应函数的确定方法,（1）当传递函数 H ( s ) 已知时 令 H ( s ) 中的 s j 就可以得到频
5、率响应函数 H ( ) 。,因为,若 0，激励信号在 t 0时间内接入定常线性系统时，拉氏变换就变成了傅氏变换。,由于 0， X ( s ) 变为 X ( ) Y ( s ) 变为 Y ( ),因此,系统的频率响应函数就成为系统的输出 y ( t ) 的傅氏变换和输入 x ( t ) 的傅氏变换之比。,（2）当传递函数 H ( s ) 未知时 因工程中有很多系统很难建立其微分方程和传递函数。在这种情况下，通过实验方法得到频率响应函数。,1）简谐信号激励法 依次用不同频率 i 的简谐信号去激励被测系统，同时测出激励的幅值 X0i、稳态输出的幅值 Y0i和相位差 i 。,因此，对于某个激励频率可以
6、测得,把全部的测试结果作成曲线图： Ai i i 1，2， i i,就可表达系统的频率响应函数（以曲线的方式）。,2）测试结合傅立叶变换法 在系统初始条件全为零的条件下，同时测得系统的输入 x ( t )和输出 y ( t ) ，将它们做傅立叶变换，得到 X ( ) 和 Y ( ) 。,根据前面由传递函数得到频率响应函数的结果可知,3. 幅频特性和相频特性的图象描述,将A()和()分别作图，可得到幅频特性曲线和相频特性曲线。 它们通常可以用伯德图、奈魁斯特图或常规图的形式来表达。,（1）伯德图（波特图，Bode图）,（p.40 图28）,波特图的横坐标（自变量）取对数标尺，为 lg 。 其优点
7、是表现的频率范围大。,波特图的纵坐标分为两种情况： 幅频特性曲线的标尺是 20 lg A() (dB) （用电压比表示） 相频特性曲线用实际标尺（度或弧度）,（2）奈魁斯特图（Nyquist 图）,将 H() 的实部和虚部分开，记作,其中,以实部 P() 为横坐标，以Q () 为纵坐标画出Q () P () 曲线。,优点：幅频特性和相频特性用一张图表示。 缺点：不能直接（定量）反映幅值、相角与的关系。,（3）常规的幅频特性曲线和相频特性曲线,以 为横坐标，以实际标尺为纵坐标，得到幅频特性曲线和相频特性曲线。,三、脉冲响应函数,若输入为单位脉冲，即 x(t)(t)，则,在复数域，测试装置的输出,
8、H(s) 的时域描述可以通过对 Y(s) 的拉氏反变换得到,h(t) 称为系统的脉冲响应函数（或权函数），可作为系统特性的时域描述。,综合前面讲过的内容，共出现了三个与系统特性有关的函数（重要概念）：,脉冲响应函数 h ( t ) 系统特性的时域描述 频率响应函数 H () 系统特性的频域描述 传递函数 H ( S ) 系统特性的复数域描述,三者之间的关系 h ( t ) FT H ( ) h ( t ) LT H ( S ) H ( S ) S=j = H ( ),四、串联环节和并联环节的传递函数,由 n 个环节串联而组成的系统，其总的传递函数 H(s)为,由 n 个环节并联而组成的系统，其
9、总的传递函数 H(s)为,五、一阶系统的特性,一阶系统输入与输出的关系用一阶微分方程来描述。,书中 p. 52 举了三个一阶系统的实例。虽然它们分别属于力学、电学和热学的范畴，但它们都属于一阶系统，可用一阶微分方程来描述。,为了便于分析问题，把各种一阶微分方程作归一化处理，得到以下规则的形式,运用拉氏变换的微分性质，得到其传递函数,其频率响应函数为（令 sj ）,为了求得系统的幅频特性和相频特性，将 H() 写为复数形式,所以,负号表示输出信号滞后于输入信号。,一阶系统的伯德图、奈魁斯特图见 p.40 图28、图29。,常规的幅频特性图、相频特性图见图210。,通过对一阶系统的传递函数作拉氏逆
10、变换，可以得到一阶系统的脉冲响应函数 h(t),对拉氏逆变换来说，1/ 是常量，可以提到拉氏逆变换之外。,查拉氏变换表,一阶微分方程经过拉氏变换和逆变换得到 h(t) ，它应该能够代表一阶系统的传输特性。,h(t)随时间增长逐渐衰减至零。,在一阶系统中，当 1 （ 3/）时,这样的频率响应函数对应的微分方程可以从频率响应函数的定义出发,把,代入,对两边进行傅立叶逆变换，可以求得微分方程 y(t)。,根据傅立叶变换的积分特性,在一阶系统中，t 0，x(t)0,当 比较大时，一阶系统相当于一个积分器。,A() 几乎与激励频率 成反比,相位滞后将近90,因此，一阶系统只适用于测量缓变或低频的被测量。,
