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1、1,二阶常系数线性微分方程,2,n 阶,方程,二阶常系数非齐次线性方程,线性微分方程,常系数,二阶,常系数,齐次,线性,定义,形如,3,- 特征方程法,将其代入方程,故有,特征根,二阶,设有解,得,特征方程,常系数,齐次,线性方程,(characteristic equation),(characteristic root),二阶常系数齐次线性方程解法,其中 r 为待定常数.,5,有两个相等的实根,一特解为,化简得,设,取,则,知,得齐次方程的通解为,设有解,其中 r 为待定常数.,6,有一对共轭复根,为了得到实数形式的解,重新组合,的两个线性无关的解.,得齐次方程的通解为,设有解,其中 r
2、为待定常数.,叠加原理,7,称为,解,特征方程,故所求通解为,例,由常系数齐次线性方程的特征方程的根,确定其通解的方法,特征方程法.,特征根,8,解,特征方程,故所求通解为,例,特征根,9,例,解初值问题,解,特征方程,特征根,所以方程的通解为,(二重根),特解,10,特征方程,特征方程的根,通解中的对应项,n 阶常系数齐次线性方程解法,若是 k 重根 r,若是 k 重共轭复根,包含 k 个线性无关的解,包含 2k 个线性无关的解,11,注意,一个根都对应着通解中的一项,n 次代数方程有 n 个根,而特征方程的每,且每一项各,乘以一个任意常数.,12,例,求方程,解,的通解.,特征方程,故所求
3、通解为,特征根,即,和,13,特征根,故所求通解,解,特征方程,例,对应的特解,14,(3) 根据特征根的不同情况,得到相应的通解,(1) 写出相应的特征方程,(2) 求出特征根,小结,二阶常系数齐次线性方程,特征根的情况,通解的表达式,实根,实根,复根,求通解的步骤:,15,思考题,求微分方程 的通解.,16,思考题解答,令,则,特征根,求微分方程 的通解.,特征方程,?,二阶常系数齐次线性方程,通解,或:,此方程属于,设,17,方程,Y 是对应齐次方程,通解结构,难点,方法,二阶,常系数,非齐次,线性,如何求非齐次方程特解 y*?,待定系数法.,的通解,y*是非齐次方程的一个特解.,二阶常
4、系数非齐次线性方程,18,设非齐方程特解为,求导代入原方程,19,综上讨论,上述结论可推广到 n 阶常系数非齐次线性,微分方程(k 是重根次数).,不是特征根,是特征单根,是特征重根,20,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,例,(1) 求对应齐次方程的通解,(2) 求非齐次方程的特解,此题,其中,?,21,代入方程, 得,原方程通解为,22,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,(1) 求对应齐次方程的通解,此题,例,1988年考研数学一, 8分,二阶常系数线性非齐次方程,23,(2) 求非齐次方程的特解,解得,所以,(3) 求原方程的特解,即,特征根,原方程通解为,(求函数y的解析表
5、达式),且,24,由题意,得,即,联立,将之代入通解得,所以,函数y的解析表达式为,25,练习,是二阶常系数微分方程,满足初始条件,的特解,函数,的极限,(A) 不存在.,(B) 等于1.,(C) 等于2.,(D) 等于3.,2002年考研数学二, 3分,解,26,1989年考研数学一, 3分,提示,根椐线性微分方程的性质,可先求方程,和,的特解,两个解的和就是原方程的特解.,特解.,27,2000级北方交大考题, 选择(3分),微分方程,的特解,的形式为,解,特征方程,特征根,对应的齐次微分方程,练习,28,2002年研究生考题, 计算(7分),(1) 验证函数,满足微分方程,(2) 利用(
6、1)的结果求幂级数,解,(1) 因为,29,(1) 验证函数,满足微分方程,(2) 利用(1)的结果求幂级数,解,(2),相应的齐次微分方程为,特征方程,特征根,对应齐次方程通解为,30,特征根,非齐次方程的特解为,代入方程,得,方程通解为,31,于是幂级数,32,练习,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,(1) 求对应齐次方程的通解,此题,其中,(2) 求非齐次方程的特解,1992年考研数学一, 6分,33,代入方程,原方程通解为,对应齐次方程通解,得,34,35,欧拉公式,36,欧拉公式,注 上述结论可推广到 n 阶常系数非齐次线性微分方程.,37,解,特征方程,故设特解为,不是特征方
7、程的根,代入方程得,比较系数, 得,于是求得一个特解,38,解,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数, 得,因此特解为,代入方程, 得,通解为,为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为,39,解: (1),有二重根,所以设非齐次方程特解为,(2) 特征方程,有根,利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为,例 设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:,特征方程,40,解,例,(1) 求对应齐次方程,特征根,其通解,这是二阶常系数非齐次线性方程.,且,特征方程,的通解,41,(2) 求非齐次方程,故设,代入方程,比较系数.得,这里,特征根,非齐次方程特解为,是特征根.,原方程通解为,
8、的特解.,42,解,例,强迫振动与共振问题,设一质量为m的电动振荡器安装在弹性梁L,的A点处,的干扰力,(H, p均为常数, H 称为干扰幅度,p 称为干扰频率),使得横梁发生振动.,如图所示,取 x轴过A点, 方向铅直向下,轴的原点.,如果不计阻力和A点处横梁的重量,试求A点在干扰力作用下的运动规律.,如果不计阻力,则A点在,振动时受到两个力的作用,一个是弹性恢复力,另一个是干扰力,牛顿第二定律,振荡器开动时对横梁产生一个垂直方向,并设平衡时A点在 x,43,记,上式化为,初值条件,二阶常系数非齐次线性微分方程的初值问题.,(1) 求对应齐次方程,特征根,齐次方程的通解,特征方程,的通解,且
9、f (t),44,(2) 求非齐次方程的特解,二阶常系数非齐次线性微分方程的初值问题.,齐次方程的通解,其中,是弹性梁的固有频率.,根据固有频率k与干扰频率p的关系,情况讨论:,如果,那么,不是特征根,故可设,代入非齐次方程中,求得,下面分两种,45,二阶常系数非齐次线性微分方程的初值问题.,于是得非齐次方程的特解,从而当,方程的通解为,由初值条件,从而A点的运动规律为,可定出C1与C2,46,上式表示,物体的运动由两部分合成.,这两部分都,是简谐振动.,自由振动,强迫振动,强迫振动由干扰力引起,它的角频率,就是干扰力的角频率p,当干扰力的角频率p与振,动系统的固有频率k相差很小时,它的振幅,
10、可以很大.,如果,那么,是特征根,故可设,代入非齐次方程中,A点的运动规律,求得,47,于是得非齐次方程的特解,从而当,方程的通解为,由初值条件,从而A点的运动规律为,可定出C1与C2,48,A点的运动规律为,上式右端第二项表明,强迫振动的振幅,随时,间 t 的增大而无限增大.,这时就发生,共振会对弹性梁产生严重的破坏.,共振现象.,美国的塔科马海峡铁桥(位于华盛顿州),据记载,1940年,因风力,的周期性作用,发生共振而至破坏.,由以上的结果可知,为了避免共振现象,应使,干扰力的角频率p不要靠近振动系统的固有频率k.,反之,如果要利用共振现象,那么应使 p= k 或使 p,与k尽量靠近.,4
11、9,1989年考研数学二, 7分,解,两端再对x求导,得,积分方程,微分方程,积分方程,即,即,这是二阶常系数非齐次线性方程.,练习,其中 f 为连续函数,求f (x).,50,即,即,初始条件,初始条件,51,其通解,(1)对应齐次方程,特征方程,特征根,(2)设原方程的特解为,解得,则,方程的通解为,由初始条件,得,所以,初始条件,是特征根.,52,三、小结,待定系数法,53,思考题,1990年考研数学一, 5分,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,(1) 求对应齐次方程的通解,此题,其中,(0次多项式),(二重),54,(2) 求非齐次方程的特解,且,所以，,原方程通解为,特征根,不是特征根.,代入方程, 得,55,所以，,原方程通解为,特征根,是二重特征根.,代入方程, 得,56,综上所述，,57,作 业,习题5.6(299页）,(A) 2. (1)(2)(3)(4) 3. (3) 齐次 4. (2)(3)(5)(6)(8) 非齐次 (B) 10. 非齐次,
