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1、新课标高中一轮总复习,随机抽样、正态分布,1.数据的基本数字特征 (1)平均数：一组数据的平均数，记为.设有n个数据x1,x2,xn，则平均数为 = . (2)中位数：一组数据按照从小到大或从大到小的顺序进行排列时，处于中间位置的数.当这组数据的个数为奇数时，中位数为中间一个数；当这组数据的个数为偶数时，中位数为中间的两个数的平均数.,(2)频率分布直方图的画图步骤： ()求极差；()决定组距与组数；()将数据分组；()列频率分布表；()画频率分布直方图(以频率组距为纵坐标). (3)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点所得的折线. (4)总体密度曲线：随着样本容量的增加,
2、作频率分布折线图时所分的组数增加,组距减小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,则称这条光滑曲线为总体密度曲线.,(5)茎叶图：中间的数字表示数据的十位数字，旁边的数字分别表示两组数据中各个数据的个位数字. 3.抽样方法 (1)简单随机抽样：从含有N个个体的总体中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(nN)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做 .有两种常用方法：,简单随机抽样,() :就是把总体中的N个个体编号,把号码写在号签上,将号签放在一个容器中,搅拌均匀后，每次从中取出一个号签,连续抽取n次,就得到一个容量为n的样本. () :利用随机数表、随机数
3、骰子或计算机产生的随机数进行抽样. (2)系统抽样：按下列步骤进行抽样： ()先将总体的N个个体编号；()确定分段间隔k，对编号进行分段；()在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(lk);()按照一定的规则抽取样本.,抽签法,随机数表法,(3)分层抽样:即 . . . . 4.正态分布 (1)如果随机变量的概率密度为 ,(x)= . 其中、分别表示总体的平均数与标准差，称服从参数为、的正态分布，记作N(,2),函数图象称为正态密度曲线，简称正态曲线.,在抽样时,将总体分成,互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层,独立地抽出一定数量的个体,将各层取出的,个体合在一起作为样本,(x(-,+
4、),一般的，如果对于任何实数ab,随机变量满足P(ab)= ,(x)dx，则称的分布为 . (2)标准正态分布 在正态分布中,当= ,= 时,正态总体称为标准正态总体，正态分布N(0,1)，称为标准正态分布，记作N(0,1). (3)正态曲线的性质 ()曲线在x轴的上方，与x轴不相交； ()曲线关于直线x=对称；,正态分布,0,1,（）曲线在x=时位于最高点； （）当x时,曲线下降,并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线向它无限靠近； （）当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. (4)若N(,2),则E=,
5、D=2.,(5)若XN(,2), 则P(-X+)=0.6826, P(-2X+2)=0.9544, P(-3X+3)=0.9974. (6)通常认为服从正态分布N(,2)的随机变量X只取 ,并简称之为3原则.,(-3,+3)之间的值,题型一 抽样方法,例1,在我国东南沿海有60个人均GDP在3万元以上的城市，其中人均GDP在34万元之间的有36个，在45万元之间的有18个，在5万元以上的有6个.国家环保总局欲用分层抽样从中随机抽取部分城市进行环境调查，若抽取的人均GDP在45万元之间的城市个数为3，则抽取的人均GDP在34万元之间的城市个数为.,根据分层抽样的特征，在各层抽取的比例是相同的，故
6、可先依据已知求出这个比例，再求解.,抽取的人均GDP在45万元之间的城市的比例为 ，故抽取的人均GDP在34万元之间的城市的比例也是 ，则抽取的城市个数为36 .,分层抽样在各层抽取样本的比例是相等的,这是解决分层抽样计算问题的主要依据.,题型二 正态分布,例2,某批材料的强度服从正态分布N(200,182)，任取一件这种材料，强度在164236的概率是多少？,依题意，得=200,=18. 则P(164236)=P(200-218200+218) P(-2+2) =0.9544. 故任取一件材料,其强度在164236的概率是0.9544.,设在一次数学考试中，某班学生的分数服从N(110, )
7、，且已知满分为150分，这个班的学生共50人，求这个班在这次考试中不小于90分的人数和超过130分以上的人数.,因为N(110, ),则=110,=20, P(110-20130)=1/2*(1-0.6826)=0.1587. P(90)=0.6826+0.1587=0.8413. 故不小于90分的人数为500.841342(人). 超过130分以上的人数为500.15878(人).,求此概率需将问题化为正态随机变量的几种特殊值的概率形式，然后利用对称性求解.,题型三 频率分布表与频率分布直方图,例3,在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量)共有100个数据，数据分组如下表,(
8、1)完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；,(2)估计纤度落在1.38,1.50)中的概率及纤度小于1.40的概率是多少？ (3)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间1.30,1.34）的中点值是1.32）作为代表.据此，估计纤度的期望.,(1)频率分布表为：,(2)纤度落在1.38,1.50）中的概率约为0.30+0.29+0.100.69，纤度小于1.40的概率约为0.04+0.25+120.300.44. (3)总体数据的期望约为1.320.04+1.360.25+1.400.30+1.440.29+1.480.10+1.520.02=1.4088.,1.
9、解答本题时，第(1)问首先需计算出每组的频率（利用频数100）；第(2)问注意1.38,1.42)中既有小于1.40，又有大于1.40的，可以认为各一半；第(3)问先计算出中点的概率，然后根据期望的定义求解. 2.本题主要考查频率分布直方图、频率、期望等概念和用样本频率估计整体分布的统计方法，考查运用概率、统计知识解决实际问题的能力.,题型三 样本的数字特征估计总体,例3,对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表： (1)画出茎叶图,由茎叶图你能获得哪些信息? (2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、中位数、标准差，并
10、判断选谁参加比赛更合适.,(1)画茎叶图,中间数为数据的十位数字: 从这个茎叶图上可以看出,甲、乙的最大速度情况都是分布均匀的,只是乙更好一些;乙的中位数是33.5,甲的中位数是33.因此,乙发挥比较稳定,总体情况比甲好. (2) =33， =33；s甲=3.96,s乙=3.56; 甲的中位数是33，乙的中位数是33.5. 综合比较，选乙参加比赛较为合适.,在某篮球比赛中，根据甲和乙两人的得分情况得到如图所示的茎叶图. (1)从茎叶图的特征来说明他们谁发挥得更稳定; (2)用样本的数字特征验证他们谁发挥得更好.,茎叶图的直观形状像横放的频率分布直方图，且保留了所有原始数据的信息，所以从数与形的
11、特征来看，甲和乙的得分都是对称的，叶的分布是“单峰”的，但甲全部的叶都集中在茎2上，而乙只有57的叶集中在茎2上，这说明甲发挥得更稳定.,(2) = =25, = =25, = (20-25)2+(21-25)2+(25-25)2+(26-25)2+(27-25)2+(28-25)2+(28-25)29.14, = (17-25)2+(23-25)2+(24-25)2+(25-25)2+(26-25)2+(29-25)2+(31-25)217.43. 因为 = , ,所以甲发挥得更好.,1.统计的基本思想方法是用样本估计总体，即用局部推断整体，这就要求样本应具有很好的代表性，而样本良好客观的代
12、表性，完全依赖抽样方法，弄清简单随机抽样和分层抽样的客观合理性，从而会在不同的情况下采用适当的抽样方法.掌握三种抽样方法的抽样步骤.,三种抽样方法的比较：,2.频率分布直方图会使样本的一些数字特征更明显,绘制频率分布直方图时,要合理分组,以便使数据中的特征能更好地反映出来. 总体分布估计中,(1)先确定分组的组数,其方法是：最大数据与最小数据之差除组距得组数.(2)计算每组中的频数及频率，其中频率= .(3)画出直方图. 3.画茎叶图的步骤如下： (1)将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分;,(2)将最小茎和最大茎之间数按大小次序排成一列，写在左(右)侧； (3)将各个数据的叶按大小次序
13、写在其茎右(左)侧； 4.用样本的数字特征(众数、中位数、平均数)估计总体数字特征. 5.正态分布应用十分广泛，应用正态分布的关键是通过数形结合，利用正态分布曲线分析求解，或转化为“，2,3原则”问题求解.,6.由正态曲线过点(a,0)和点(b,0)的两条x轴的垂线，及x轴所围成的平面图形的面积，就是随机变量落在区间(a,b)的概率的近似值. 7.正态曲线与x轴之间的面积为1.,1.某初级中学共有30个班，其中初一有12个班，初二有12个班，初三有6个班.现从中抽出5个班进行调查，则应在初三6个班中抽取 个班.,1,2.把数据x1,x2,xn分成若干组,已知某数xi的频数和频率分别为4和0.1
14、25,则n的值是( ),C,A.16 B.24 C.32 D.64,3.数据5，10，73，1，3，105，111的中位数与极差的差为 .,-100,因为中位数是10，极差是111-1=110，故所求的值为10-110=-100.,4.将一组数据同时减去3.1，得到一组新数据,若原数据的平均数、方差分别为 、s2,则新数据的平均数是 ,方差是 .,-3.1,s2,设= (x1+x2+xn), 则 = (x1-3.1)+(x2-3.1)+(xn-3.1) =-3.1. s2= (xi- )2 = (xi-3.1)-(-3.1)2 = (xi- )2=s2.,5.随机变量的概率密度函数为 (x)= x(-,+).若N(0,1)，且=a+b(a0),则=( ),A. B. C. D.,A,因为E=0,D=1,E=-5,D=4, 而E=E(a+b)=aE+b,D=D(a+b)=a2D. -5a+b=0 a= 4a2=1 b= , 所以= + ，故选A.,又a0,所以,解得,6.已知正态曲线,(x)= ,当=时，曲线最高点的纵坐标是标准正态曲线最高点的纵坐标的 倍.,当= 时，正态曲线最高点的纵坐标为 ，而标准正态曲线最高点的纵坐标为 ，故答案是 .,
