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1、本章中心内容,第2章 分离变量法,我把数学看成是一件有意思的工作,而 不是想为自己建立什么纪念碑。可以肯定 地说, 我对别人的工作比自己的更喜欢。 我对自己的工作总是不满意。-拉格朗日,用分离变量法求解各种有界问题；,分离变量法是定解问题的一种基本解法，适用于大量,的各种各样的定解问题，其基本思想是把偏微分方程分解为几个常,微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件而构成本特征值问题,2.1 特征值问题,2.1.1 矩阵的特征值问题,矩阵的特征值问题,设A为一n阶实矩阵，其特征值满足,一般来说，特征值和线性无关的特征向量不多于n个。任意n阶矩阵,都有n个线性无关的广义特征向量，以此n个线性无关的
2、广义特征向,量作为,的一个新基，矩阵就能够化为,约当标准型。,实对称矩阵对角化,若A为一n阶实对称矩阵，存在正交阵T使得,其中,为实对角阵。设,则（2）可以有如下形式,或,可以看出，正交阵T的每一列都是实对称阵A的特征向量，并且这n,n个特征向量是 相互正交的。,定理1 n阶实对称阵特征值全为实数且可以正交对角化。,由于,线性无关，比较系数有,则,为原问题的解。,例2 设,求解非齐次常微分方程组,其中,为已知向量函数，,解 和例1相似 ，将,按基,分别展,开,则（4）等价于,化为n个一阶线性方程组的初始值问题，最后再带回,2.1.2 一个二阶线性微分算子的特征值问题,实对称矩阵A换为二阶微分算
3、子A，,一般取,下面讨论二阶线性微分算子,的特征值问题。边界条件,，设,是A,的特征函数，即,且满足,等价于,对此特征值问题求解。,首先证明,非负。,因为,积分得,第一项分部积分， 得,故有,当,时，方程,的通解为,，利用边界条件可得,因此， 不是特征值。,当,时，方程,的通解为,利用边界条件，确定常数,即有,所以,所以，可得,故，特征值问题（7）的解为,2.2 分离变量法,对于一个给定的偏微分方程实施变量分离应该具备什么条件？,对于任何二阶线性（齐次）偏微分方程,通过适当的自变量变换转化为下列标准形式：,假设：标准形式的解有下列分离的形式,其中,分别是单个变量的二次可微函数。,代入标准形式即
4、有,讨论:,1. 常系数偏微分方程,1. 常系数偏微分方程,讨论:,要等式恒成立，只能它们等于一个既不依赖于x,也不依赖于y的常数，记为 ，从而得到两个常微分方程,2. 变系数偏微分方程,对于变系数函数,，假设存在某一个函数,，使得方程除以,后变为可分离的形式,上式要恒成立，只有它们均等于同一个常数，记为,，从而得到两个常微分方程,由以上讨论知道：对于常系数二阶偏微分齐次方程，总是能实施变量分离,需要满足一定的条件，即必须找到讨论2中适当的 函数才能实施变量分离,但对于变系数的二阶偏微分齐次方程,第一类边界条件,第二类边界条件,边界条件可实施变量分离的条件,三类边界条件为,第三类边界条件,假设
5、具体定解问题（以弦的横振动为例）的边界 条件为齐次的：,可见，只有当边界条件是齐次的，方可分离出单变量未知函数的边界条件此外，进行分离变量时，还须根据具体情况确定直角坐标系，球坐标系以及柱坐标系,例 1 求解两端固定弦振动方程的混合问题,泛定方程：,边界条件：,初始条件：,对于确定的频率，解是驻波：,波腹,波节,每一点绕平衡位置振动,振幅随位置变化,驻波解：,这是解的分离变量,18,2.2.1 齐次边界弦振动方程定解问题,解 分四步求解,第一步 分离变量，求解特征值问题。,即由齐次方程和齐次边界条件，利用变量分离法导出该问题的特征值问题并求解。,令,，带入到对应的齐次方程中得到,或,左右只能为
6、常数，记为,，则有,由第一个方程可得,由齐次边界条件,即,又,不恒等于0，可得,第一个问题可以化为,其解为,特征值,特征函数,第二步 正交分解过程。,即 将初始条件函数，自由项以及u(x,t)用特征函数系,表出。,这里,而,下面来求。,第三步 待定系数法。,即 先将,的级数带入原方程中，导出关于,满足的,的常微分方程。再利用初值条件求,的初始条件。,假设,可逐项求导，并将,带入泛定方程,中，可得,即,比较系数有,由,令t=0，有,比较系数，有,同理,比较系数，有,所以有,第四步 求解上面的定解问题，结果代入,对齐次方程,其通解为,对应的非齐次方程,利用常数变易法，其解具有这样的形式,由初始条件
7、,代入上面的式子，可得,代入,可得,又,所以,（4）有初始条件确定通解系数（傅立叶展开 ）,注1 分离变量法概要：,（1）将齐次偏微分方程分为若干常微分方程,（2）参数常微分方程与齐次边界条件构成本征值问题,（3）将特征解叠加无穷级数，给出通解,31,注2 对齐次问题,记,令,则简谐波,在弦上固定一点x，则,表述了一个振幅为,，频率,为,，初相位为,的简谐振动。就整个弦来说，这个简谐波有,如下的显著特点：,例 2 设有一均匀细弦，其线密度为,，若,端为自由端，,端固定。初始速度和初,始位移都为零，并受到垂直于弦线的外力作用，其单位长度所受外力为 。求此弦的振动。,解 所求问题为,利用特征函数法
8、求解该问题。,情形1 非共振问题，即,该定解问题的特征值问题为,当,时，方程,的通解为,利用初始条件，求的其解为,将,按特征函数,展开成傅里叶级数，即,令,则有,比较系数有,得,满足,得其齐次方程的通解为,得其齐次方程的通解为,留给同学们计算。,情形2 共振问题，即存在,使得,不妨假设,此时，在情形1中求解所得到的,不,变。当,时，要求解以下问题,其齐次方程通解为,要求原方程的一个特解，需要将自由项换为,，而求以下问题,的一个特解,令,并带入到上面的非齐次方,程，可得,，所以有,取其虚部为原方程的一个特解,所以，原方程的通解为,由初始条件确定，可得,代入,例3设有一根长为10个单位的弦，两端固
9、定，初速为零，初位移为 ，求弦作微小横向振动时的位移。,解：,弦的振动,振幅放大100倍，红色、蓝色、绿色分别为n=1,2,3时的驻波。,解：,例4 求下列定解问题,初始条件,若l=1,a=10时的震动。,例5 求下列定解问题,解：,例6 求下列定解问题,令,带入方程：,解：,2.2.2 热传导方程定解问题,例7 求解下面的热传导方程定解问题,解 利用特征函数法求解,首先将边界条件齐次化，取,记,，则原方程转化为,利用变量分离法，解上面的方程,令,可得特征值问题,特征值和特征函数分别为,将,分别按,展开成傅里叶,级数,其中,又,其中,令,代入,可得,所以,又因为t=0时有,所以，有,此方程为一
10、阶常微分方程初值问题，其齐次方程通解为,令,，代入上面方程，确定系数得,方程通解为,用初值条件,，可得,则有,又由,则,例8：,细杆热传导。初始均匀温度为 ，保持一端温度不变，另一端有恒定热流 流入。,第一类边界条件,第二类边界条件,非齐次(不为零)边界条件, 无法直接根据边界条件确定本征函数,解齐次边界条件的通解非齐次边界条件的特解,非齐次边界条件的特解：,齐次边界条件的通解:,67,初始条件:,分离变量:,和,68,“和”是迅速衰减的部分。近似：只保留 k=0 项。,69,k=1,2,3,k=0,1,2,3,70,k=0,1,2,3,k=0,1,2,3,2.2.3 平面上位势方程定解问题,
11、考虑矩形区域上的Poisson方程边值问题,假设,或,。否则，利用边界条件齐,次化方法化非齐次边界条件为齐次边界条件。当然，也可以利用叠,加原理将此问题分解为两个问题，其中一个关于x具有齐次边界条,件，而另一个关于y具有齐次边界条件。,例9 求解Dirichlet问题,解 令,，代入上面方程的齐次形式，可得,可得,和,是,的特征值问题，其解为,将,代入,，有,该齐次方程有两个线性无关的解,，由于,也是该齐次方程的两个线性无关的解，所以其通解为,由,所以,所以,所以，原方程的解为,其中,非齐次方程,特解法,设定,待求,拉普拉斯方程,例10:,圆域,76,边界条件,令,77,例11：,78,的联立
12、代数方程,79,例11：求下面扇形域上Dirilet定解问题,解 令,，则上式化为,令,代入上面方程，并结合边界条件，有,（1）便是极坐标方程的特征值问题,求解特征值问题（1） 可得,代入（2），有,由于求的是有界解，所以有,所以有,利用边界条件,有,比较系数有,所以 有,则,例12 求定解问题,解：将原问题变换到极坐标系下：,2. 边界条件 齐次或周期边界条件？ 若否: 令u = v + w (x,t) ，选w, 使 v 满足齐次边界, 转 3 或 令u = v + w(x)，使v 满足齐次方程齐次边界,转 4,定解问题,选择合适的坐标系,边界条件非齐次，转换为齐次边界条件,非齐次方程，齐次边界条件,齐次方程，齐次边界条件 直接用驻波法,非齐次方程，齐次定解条件 固有函数法,应用分离变量法求解定解问题的步骤,关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论,1. 存在无穷多个实的特征值，适当调换这些特征值的顺序，可使他们构成一个非递减序列。,2. 所有特征值均不为负。,3. 任意两个不同的特征值，对应的两个特征函数在定义域上以权函数互相正交。,4. 特征函数系具有完备正交性，故满足一定条件的函数可以按特征函数系展成绝对且一致收敛的级数。,
