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1、2020/8/3,1,第二节 数项级数收敛性判别法,第七章,（Interrogate of constant term series）,一、正项级数及其审敛法,二、交错级数及其审敛法,三、绝对收敛与条件收敛,四、小结与思考练习,2020/8/3,2,一、正项级数及其审敛法,若,定理 1 正项级数,收敛,部分和序列,有界 .,若,收敛 ,部分和数列,有界,故,从而,又已知,故有界.,则称,为正项级数 .,单调递增,收敛 ,也收敛.,(Interrogate of positive term series),2020/8/3,3,2020/8/3,5,(常数 p 0),的敛散性.,解: 1) 若,
2、因为对一切,而调和级数,由比较审敛法可知 p 级数,发散 .,发散 ,例2 讨论 p 级数,2020/8/3,6,因为当,故,考虑强级数,的部分和,故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .,时,2) 若,2020/8/3,7,解,2020/8/3,8,则有,两个级数同时收敛或发散 ;,(2) 当 l = 0,(3) 当 l =,设两正项级数,满足,(1) 当 0 l 时,定理3 (比较审敛法的极限形式),2020/8/3,9,解,2020/8/3,10,2020/8/3,11,2020/8/3,12,2020/8/3,13,设,为正项级数, 且,则,(1) 当,(2) 当,证: (1
3、),收敛 ,时, 级数收敛 ;,或,时, 级数发散 .,由比较审敛法可知,定理4 比值审敛法 ( D Alembert 判别法),2020/8/3,14,因此,所以级数发散.,时,说明: 当,时,级数可能收敛也可能发散.,例如, p 级数,但,级数收敛 ;,级数发散 .,从而,(2) 当,2020/8/3,15,2020/8/3,16,2020/8/3,17,对任意给定的正数 ,设,为正项级,则,证明提示:,即,分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.,数, 且,定理5 根值审敛法 ( Cauchy判别法),2020/8/3,18,时 , 级数可能收敛也可能发散 .,例如 , p 级
4、数,但,级数收敛 ;,级数发散 .,说明 :,2020/8/3,19,2020/8/3,20,二、交错级数及其审敛法,则各项符号正负相间的级数,称为交错级数 .,定理6 ( Leibnitz 判别法 ),若交错级数满足条件:,则级数,收敛 , 且其和,其余项满足,(Interrogate of staggered series),2020/8/3,21,证:,是单调递增有界数列,又,故级数收敛于S, 且,故,2020/8/3,22,收敛,收敛,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?,发散,收敛,收敛,用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:,2020/8/3,23,三、绝对
5、收敛与条件收敛,定义 对任意项级数,若,若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级,收敛 ,数,为条件收敛 .,均为绝对收敛.,例如 ：,绝对收敛 ；,则称原级,数,条件收敛 .,(Absolute convergence and conditional convergence),2020/8/3,24,证: 设,根据比较审敛法,显然,收敛,收敛,也收敛,且,收敛 ,令,定理7 绝对收敛的级数一定收敛 .,2020/8/3,25,证: (1),而,收敛 ,收敛,因此,绝对收敛 .,例11 证明下列级数绝对收敛 :,（补充题）,2020/8/3,26,(2) 令,因此,收敛,绝对收敛.
6、,2020/8/3,27,2020/8/3,28,其和分别为,*定理8 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.,*定理9 ( 绝对收敛级数的乘法 ),则对所有乘积,按任意顺序排列得到的级数,也绝对收敛,设级数,与,都绝对收敛,其和为,绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.,说明: 条件收敛级数不具有这两条性质.,2020/8/3,29,内容小结,1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2. 利用正项级数审敛法,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,2020/8/3,30,为收敛级数,Leibniz判别法:,则交错级数,收敛,概念:,绝对收敛,条件收敛,3. 任意项级数审敛法,2020/8/3,31,课外练习,习题72 1-8,思考练习,1、设正项级数,收敛,能否推出,收敛 ?,提示:,由比较判敛法可知,收敛 .,注意:,反之不成立.,例如,收敛 ,发散 .,2020/8/3,32,则级数,(A) 发散 ; (B) 绝对收敛;,(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定.,分析:, (B) 错 ;,又,C,2.,
