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1、2020/8/3,第四章 根轨迹法,1,第四章,根轨迹法,作者： 浙江大学 邹伯敏 教授,自动控制理论,普通高等教育“九五”部级重点教材,2020/8/3,第四章 根轨迹法,2,第一节 根轨迹的基本概念,我们的任务是求当参变量K从0向变化时，系统闭环特征根在复平面上的变化轨迹，表4-1列出了当参变量K从0向变化时，特征根s1 和s2相应的变化关系,图4-1，二阶系统,系统闭环特征方程式为：,闭环系统的特征根：,C(s),R(s),-,对图4-1所示二阶系统，系统开环传递函数为：,2020/8/3,第四章 根轨迹法,3,表4-1 根与K的关系,1) 0K， s1、 s1为两相异的实数根（过阻尼状
2、态） 2) K=， s1 = s2 =-0.5，（临界阻尼） 3) K， s1 、s2为一对共轭复根（欠阻尼）,对于不同的K值,系统有下列 三种不同的工作状态,2020/8/3,第四章 根轨迹法,5,可见，根轨迹图全面地描述了参数K对闭环特征根分布的影响。 定义：当系统中某一参数(一般以增益为变化参数)发生变化时，系统闭环特征根在s平面上描绘的曲线称系统的根轨迹。 它是一种用图解方式表示特征方程的根于系统某一参数的全部数值关系的方法。 一般地，绘制系统根轨迹时选择的可变参量可以是系统的任意参量。以系统根轨迹增益K为可变参量绘制的根轨迹称为常规根轨迹。以其它参数为变量绘制的根轨迹称为参量根轨迹。
3、,2020/8/3,第四章 根轨迹法,6,图4-3,根轨迹的幅值条件与相角条件,特征方程：,上式改写为：,自动控制理论,于是得：,或,2020/8/3,第四章 根轨迹法,7,假设系统开环传递函数用零、极点形式表示：,2020/8/3,第四章 根轨迹法,8,自动控制理论,则上式改写为：,图4-4,于是得：,2020/8/3,第四章 根轨迹法,9,幅值条件与K有关，相角条件与K无关 满足相角条件的点必然满足幅值条件。 反之，满足幅值条件点未必能满足相角条件。,自动控制理论,结论：,图4-5,幅值条件：,系统的等增益轨迹是一簇同心圆，对于某一个确定的K值，对应圆周上有无穷多个S值都满足方程，其中只有
4、同时满足相角条件的S值才是方程的根。 根轨迹就是S平面上满足相角条件点的集合。,2020/8/3,第四章 根轨迹法,10,绘制根轨迹步骤,1）先找出S平面上满足相角条件的点，并把它们连成曲线； 2）用幅值条件确定相应点对应的K值。,例4-1 求图4-1所示系统的根轨迹,自动控制理论,2）用幅值条件确定增益K,2020/8/3,第四章 根轨迹法,11,图4-6,自动控制理论,2020/8/3,第四章 根轨迹法,12,第二节 绘制根轨迹的基本规则,开环传递函数有如下两种表示：,自动控制理论,其中，K为系统的开环增益；K0为系统的根轨迹增益它们之间的 关系为：,2020/8/3,第四章 根轨迹法,1
5、3,绘制根轨迹的基本规则,规则1：根轨迹的对称性,由于系统特征方程式的系数均为实数，因而特征根或为实数，或为共轭复数，根轨迹必然对称于S平面的实轴。,规则2：根轨迹的分支数及其起点和终点,闭环特征方程：,自动控制理论,当k0由 变化时，方程中任一根由始点连续地向终点变化的轨迹称 为根轨迹的一条分支；,2020/8/3,第四章 根轨迹法,14,自动控制理论,因为nm，所以根轨迹分支共计为n条；,根轨迹起点就是k0=0时根的位置，当k0=0时有：,根轨迹终点就是当 时根的位置；,由此可知，开环传递函数的零点-zi (i=1,m)是m条根轨迹分支的终点,条根轨迹的终点也需确定,当,2020/8/3,
6、第四章 根轨迹法,15,规则3：根轨迹在实轴上的分布,自动控制理论,幅值条件,2020/8/3,第四章 根轨迹法,16,图4-7 实轴上根轨迹的确定,自动控制理论,实轴上根轨迹的确定完全取决于试验点si右方实轴上开环极点数 与零点数之和的数是否为奇数。,mr 和 nr分别为右方实轴上开环零点和开环极点数,2020/8/3,第四章 根轨迹法,17,规则4：根轨迹的渐近线,自动控制理论,1、渐近线的倾角,2、渐进线与实轴交点,2020/8/3,第四章 根轨迹法,18,3、用分子除以分母得,2020/8/3,第四章 根轨迹法,19,自动控制理论,则：,方程 有（n- m）条根轨迹分支，它们是由实轴上
7、 点出发的射线，这些射线于正实轴的夹角为,由于G(s)H(s)和W(s)分母中前两项高阶次项完全相同，因而当s时，G(s)H(s)就能近似地用W(s)来表征。方程1+G(s)H(s)=0的(n-m)条根轨迹分支便会趋向于1+W(s)=0的根轨迹。即它们有相同的渐近线。,2020/8/3,第四章 根轨迹法,20,图4-8 控制系统方框图,例4-2 绘制图4-8所示系统的根轨迹,1） 有三条根轨迹分支,它们的始点为开环极点(0,-1,-2） 2） 三条根轨迹分支的终点均在无限远处 3） 渐近线与正实轴的夹角,解：,4）实轴上的0至-1和-2至-间的线段为根轨迹,自动控制理论,（见P119）,202
8、0/8/3,第四章 根轨迹法,21,规则5：分离点与会合点,当根轨迹分支在实轴上相交后走向复平面，此交点称为根轨迹的分离点。当根轨迹由复平面走向实轴时，它们在实轴上的交点称为会合点,图4-10 根轨迹的分离点和会合点,图4-11 根轨迹的复数分离点,自动控制理论,求解根轨迹的分离点和会合点,2020/8/3,第四章 根轨迹法,22,例4-3 求图4-8所示系统的分离点,解：特征方程,例4-4 已知,求根的分离点,1）有4条根轨迹分支,它们的始点分别为0，-4，-2j4,解：,自动控制理论,(s2舍去),2020/8/3,第四章 根轨迹法,23,图4-12 例4-4的根轨迹,2） 渐近线与正实轴
9、的夹角,3） 实轴上的0至-4间的线段是根轨迹,2020/8/3,第四章 根轨迹法,24,4） 求分离点，系统的特征方程为,规则6：出射角与入射角,根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向的夹角称根轨迹的出射角，根轨迹进入开环复数零点处的切线与实轴正方向夹角称入射角,图4-13 根轨迹出射角的确定,自动控制理论,设系统的开环零、极点的分布如图4-13所示，取试验点si 十分靠近开环 复数极点-p4 (因而可以认为开环的零点和其它极点指向si点矢量的相角 和它们指向极点-p4 矢量的相角相等)，若试验点si在根轨迹上，则,2020/8/3,第四章 根轨迹法,25,规则7：根轨迹与虚轴的交点(以
10、实例说明),例 已知闭环特征方程式为,自动控制理论,计算出射角的一般表达式为,同理，计算入射角的一般表达式为,式中， 就是根轨迹离开复数极点-P4 的出射角,2020/8/3,第四章 根轨迹法,26,由劳斯判据：,当K=260时，求解,以 代入方程直接求解,2020/8/3,第四章 根轨迹法,27,自动控制理论,规则8：特征方程式根之和与根之积,把式（4-13）改为,2020/8/3,第四章 根轨迹法,28,自动控制理论,如果n-m2则闭环特征方程,于是得：,令 为特征方程的根，则,2020/8/3,第四章 根轨迹法,29,图4-14 例4-5的根轨迹图,自动控制理论,例4-5 已知一单位反馈
11、控制系统的开环传递函数为,2020/8/3,第四章 根轨迹法,30,第三节 参量根轨迹的绘制,图4-18 双闭环控制系统的框图,例4-7 试绘制图4-18所示的系统以为参变量的根轨迹,解：,图4-19 例4-7的根轨迹图,自动控制理论,一个可变量根轨迹的绘制,系统的开环传递函数为,闭环特征方程为,2020/8/3,第四章 根轨迹法,31,令系统等效开环传递函数为,例4-8 试绘制图4-20所示,试绘制以K和为参变量的根轨迹,几个可变参量根轨迹的绘制,解： 系统的闭环特征方程式,2020/8/3,第四章 根轨迹法,32,图4-21 根轨迹图,图4-20 单位反馈控制系统,自动控制理论,2020/
12、8/3,第四章 根轨迹法,33,第四节 非最小相位系统的根轨迹,开环传递函数的零点、极点均位于S左半平面的系统，称为最小相位系统；反之，则称为非最小相位系统。出现非最小相位系统有如下三种情况,1） 系统中有局部正反馈回路 2） 系统中含有非最小相位元件 3） 系统中含有纯滞后环节,图4-22具有正反馈回路的控制系统,自动控制理论,正反馈回路的根轨迹,内回路的闭环传递函数为,2020/8/3,第四章 根轨迹法,34,自动控制理论,相应的特征方程为,由上式得,正反馈系统根轨迹与负反馈系统根轨迹的不同这处有：,1）实轴上线段成这根轨迹的充要条件是该线段右方实轴上开环零点数与极点数这和为偶数 2）渐近
13、线与实轴的倾角,3）开环共轭极点的出射角与开环共轭零点的入射角分别为,2020/8/3,第四章 根轨迹法,35,系统中含有非最小相位元件,图4-23 非最小相位系统,自动控制理论,由相角条件得,2020/8/3,第四章 根轨迹法,36,滞后系统的根轨迹,图4-25 滞后系统的框图,自动控制理论,特征方程为,图4-24,2020/8/3,第四章 根轨迹法,37,第五节 用MATLAB绘制系统的根轨迹,特征方程,图4-26 反馈控制系统,自动控制理论,其中：,Num和dem两个数组是由上面二式的多项系数构成，MATLAB 绘制根轨迹的指令为,2020/8/3,第四章 根轨迹法,38,例 已知,试用
14、MATLAB绘制该系统的根轨迹,解： 应用MATLAB程序4-1，就能作出4-27所示的根轨迹。 %MATLAB程序4-1 %绘制控制系统的根轨迹 num= 0 0 1 1; den= 1 9 0 0; rlocus（num,dem) axis(square); grid on title(Root-locus plot of G(s)=K(s+1)/(s2(s+9) xlabel(Re) ylabel(Im),图4-27 例4-9的根轨迹图,自动控制理论,2020/8/3,第四章 根轨迹法,39,用MATLAB绘制根轨迹的指令还有下列两种形式：,r，K=rlocus（num，den） （2）
15、 r，K=rlocus（num，den，K） （3）,用MATLAB方程4-2，就能算出K变化时相应根的值,例 已知,解 应用MATLAB程序4-2，就得到K与根的对应数据和根轨迹图4-28 %MATLAB程序4-2 %给出系统矩件值和增益向量K值 %绘制根轨迹 num= 0 0 1 1; den= 1 9 0 0; r，K=rlocus（num，den） v=-3 3 -3 3 %axis(square) plot(r, o) grid on xlabel(Re) ylabel(Im) title(Root-locus plot of G(s)=K(s+1)/(s2(s+8),图4-28 根
16、轨迹图,自动控制理论,2020/8/3,第四章 根轨迹法,40,例 4-10 已知一系统如图4-29所示，试用MATLAB绘制该系统的根轨迹,图429 反馈控制系统,自动控制理论,图4-30 例4-10的根轨迹,解 应用MATLAB程序4-3，就能求得图4-28所示的根轨迹 %MATLAB程序4-3 %绘制系统根轨迹 num= 0 0 0 0 1 1; den= 1 1.1 10.3 5 0;,2020/8/3,第四章 根轨迹法,41,r=rlocus（num，den） plot(r, ) v=-4 4 -4 4;axis(v) grid on title(Root-locus plot of G(s)=K(s+0.5)/(s2+0.6s+10) xlabel(Re) ylabel(Im),自动控制理论,如果要求某一特征
