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1、- 1 -,第一节 常数项级数, 常数项级数的概念及基本性质 正项级数及其判敛法 任意项级数,第十一章,- 2 -,一、常数项级数的概念及基本性质,1. 常数项级数的概念,引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.,依次作圆内接正,边形,这个和逼近于圆的面积 A .,设 a0 表示,即,内接正三角形面积,ak 表示边数,增加时增加的面积,则圆内接正,- 3 -,引例2：观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,设三角形,播放,- 5 -,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,设三角形,- 6 -,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,设三角形,- 7 -,观察雪花分形过程,第一次分叉：
2、,依次类推,设三角形,- 8 -,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,设三角形,- 9 -,周长为,面积为,第 次分叉：,- 10 -,于是有,结论：雪花的周长是无界的，而面积有界,雪花的面积存在极限（收敛）,- 11 -,定义：,给定一个数列,将各项依,即,称上式为无穷级数，,其中第 n 项,叫做级数的一般项,级数的前 n 项和,称为级数的部分和.,次相加, 简记为,- 12 -,当级数收敛时, 称差值,为级数的余项.,则称无穷级数发散 .,显然,S称为级数的和,记作:,则称无穷级数收敛 ,说明,级数的敛散性转化为部分和数列,的敛散性.,- 13 -,例1. 讨论等比级数,(几何级数)
3、,( q 称为公比 ) 的敛散性.,解: 1) 若,从而,因此级数收敛 ,从而,则部分和,因此级数发散 .,其和为,- 14 -,2). 若,因此级数发散 ;,因此,n 为奇数,n 为偶数,从而,综合 1)、2)可知,时, 等比级数收敛 ;,时, 等比级数发散 .,则,级数成为,不存在 , 因此级数发散.,此时,- 15 -,如果级数,是发散的。,解：,例2. 证明调和级数:,是收敛的，,则,但,所以，,级数,是发散的,- 16 -,例3. 判别下列级数的敛散性:,解: (1),所以级数 (1) 发散 ;,技巧:,利用 “拆项相消” 求和,- 17 -,解：,所以级数 (2) 收敛, 其和为
4、1 .,技巧:,利用 “拆项相消” 求和,- 18 -,例4.,判别级数,的敛散性 .,解:,故原级数收敛 , 其和为,- 19 -,2 .无穷级数的基本性质,性质1 若级数,收敛于 S ,则各项,乘以常数 c 所得级数,也收敛 ,证: 令,则,这说明,收敛 , 其和为 c S .,说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .,即,其和为 c S .,即,说明,- 20 -,性质2 设有两个收敛级数,则级数,也收敛, 其和为,证: 令,则,这说明级数,也收敛, 其和为,即,- 21 -,(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则,必发散 .,(3)若二级数都发散 ,不一定发散.,例如,(1)
5、 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .,(用反证法可证),说明,- 22 -,例5,判别下列级数的敛散性，如果收敛，求其和,解：,(1),因为,均收敛，,所以,收敛，,且,(2),因为,收敛，,发散，,发散。,- 23 -,性质3.,在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级,数的敛散性.,证: 将级数,的前 k 项去掉,的部分和为,数敛散性相同.,当级数收敛时, 其和的关系为,类似可证前面加上有限项的情况 .,极限状况相同,故新旧两级,所得新级数,- 24 -,性质4.,收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原级,数的和.,证: 设收敛级数,若按某一规律加括号,则新级数的部分和序列,为原级数部分
6、和,序列,的一个子序列,推论: 若加括号后的级数发散, 则原级数必发散.,发散级数加括号后所成的级数不一定发散.,但,发散.,因此必有,例如，,用反证法可证,例如,收敛,说明,- 25 -,设收敛级数,则必有,证:,可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .,性质6. 收敛级数的必要条件,注意:,并非级数收敛的充分条件.,例如, 调和级数,虽然,但此级数发散 .,- 26 -,例7.说明下列级数是发散的,解：,（1）,所以原级数是发散的,（2）,所以原级数是发散的,（3）,级数是发散,- 27 -,（4）,故,从而,这说明级数(1) 发散.,- 28 -,二、正项级数及其判敛法,若,
7、基本定理:,收敛,有上界 .,则称,为正项级数 .,正项级数,部分和数列,定理2 (比较判别法),设,且,(1) 若级数,则级数,(2) 若级数,则级数,则:,收敛 ,也收敛 ;,发散 ,也发散 .,是两个正项级数,（ 常数）,- 29 -,例8. 讨论p-级数,的敛散性,解: 1) 若,因为对一切,而调和级数,由比较判别法可知 p 级数,发散 .,发散 ,- 30 -,因为当,故,考虑级数,的部分和,故级数,时,2) 若,p 级数收敛 .,收敛 ,由比较判别法知,- 31 -,重要参考级数: 几何级数, p-级数, 调和级数.,例9. 判别下列级数的敛散性,解：,(1),而,发散,所以,原级
8、数发散,- 32 -,(2),收敛，,所以,收敛.,(3),收敛，,所以,收敛.,(4),所以,原级数收敛,收敛,- 33 -,例10. 判别下列级数 的敛散性,解：,当,时，,则级数,发散，,所以级数,发散.,- 34 -,定理3. (比较判别法的极限形式),则有,两个级数同时收敛或发散 ;,(2) 当 l = 0,(3) 当 l =,设两正项级数,满足,(1) 当 0 l 时,- 35 -,例11 判别下列级数的敛散性,解：,(1),根据比较判别法的极限形式知,(2),根据比较判别法的极限形式知,收敛,- 36 -,(3),根据比较判别法的极限形式知,(4),根据比较判别法的极限形式知,-
9、 37 -,例12 判别级数,的敛散性.,解：,当,时,当,时，,从而当,时,发散，,当,时，,收敛,根据比较判别法的极限形式知,- 38 -,定理4 . 比值判别法 ( Dalembert 判别法),设,为正项级数, 且,则,(1) 当,(2) 当,证: (1),收敛 ,时, 级数收敛 ;,或,时, 级数发散 .,由比较判别法可知,(3) 当,时, 级数敛散性不定 .,- 39 -,因此,所以级数发散.,时,(2) 当,（3） 当,时,级数可能收敛也可能发散.,例如, p 级数,但,级数收敛 ;,级数发散 .,从而,- 40 -,注意,(1),当,时比值判别法失效;,条件是充分的,而非必要.
10、,(2),说明,- 41 -,(3),如果,事实上,- 42 -,例13 判别下列级数的收敛性:,(1),(2),(3),解：,(1),所以,收敛.,- 43 -,比值判别法失效, 改用比较判别法,(2),所以,发散,- 44 -,的敛散性 .,解:,根据定理4可知:,级数收敛 ;,级数发散 ;,例14. 讨论级数,- 45 -,定理5. 根值判别法 ( Cauchy判别法),设,为正,则,项级数, 且,级数收敛.,- 46 -,？,由比较审敛法知 收敛.,反之不成立.,例如：,收敛,发散.,- 47 -,三、任意项级数,则各项符号正负相间的级数,称为交错级数 .,定理6 . ( Leibni
11、tz 判别法 ),若交错级数满足条件:,则级数,收敛 , 且其和,其余项满足,1. 交错级数,- 48 -,证:,是单调递增有上界数列,又,故级数收敛于S, 且,故,- 49 -,例15 判别级数,的收敛性.,解：,(1),且,所以,由Leibnitz 判别法 收敛.,(2),Leibnitz 判别法原级数收敛.,- 50 -,2、绝对收敛与条件收敛,定义: 对任意项级数,若,若原级数收敛, 但级数,收敛 ,为条件收敛 .,为绝对收敛.,例如 ：,绝对收敛 ；,则称原级数,条件收敛 .,发散, 则称原级数,注意：收敛级数每一项加绝对值后不一定收敛。,说明,- 51 -,证: 设,根据比较判别法,显然,收敛,收敛,也收敛,且,收敛 ,令,定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .,- 52 -,例16 判别下列级数敛散性，如果收敛指出是条件,收敛，还是绝对收敛。,解：,(1),且 收敛,所以,收敛且绝对收敛。,- 53 -,(2),所以,发散，,又因为,且,且条件收敛,- 54 -,(3),发散.,该极限不存在,- 55 -,(4),发散，,令,且,所以,收敛且条件收敛。,
