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1、第四节,一、隐函数的导数,二、由参数方程确定的函数的导数,三、相关变化率,隐函数和参数方程求导,相关变化率,一、隐函数的导数,若由方程,可确定 y 是 x 的函数 ,由,表示的函数 , 称为显函数 .,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .,函数为隐函数 .,则称此,隐函数求导方法:,两边对 x 求导,(含导数 的方程),例1. 求由方程,在 x = 0 处的导数,解: 方程两边对 x 求导,得,因 x = 0 时 y = 0 , 故,确定的隐函数,例3. 求,的导数 .,解: 两边取对数 , 化为隐式,两边对 x 求导,1) 对幂指函数,可用对数求导法求导
2、:,说明:,注意:,2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .,例如,两边取对数,两边对 x 求导,又如,对 x 求导,两边取对数,二、由参数方程确定的函数的导数,若参数方程,可确定一个 y 与 x 之间的函数,可导, 且,则,时, 有,时, 有,(此时看成 x 是 y 的函数 ),关系,若上述参数方程中,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数 .,利用新的参数方程,可得,?,例4. 设, 且,求,已知,解:,练习: P111 题8(1),解:,注意 :,例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为,求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.,解: 先求速度大小:,速度的水平分量为,垂直分量为,
3、故抛射体速度大小,再求速度方向,(即轨迹的切线方向):,设 为切线倾角,则,抛射体轨迹的参数方程,速度的水平分量,垂直分量,在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为,达到最高点的时刻,高度,落地时刻,抛射最远距离,速度的方向,例6. 设由方程,确定函数,求,解: 方程组两边对 t 求导 , 得,故,三、相关变化率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为相关变化率,相关变化率问题解法:,找出相关变量的关系式,对 t 求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,例7. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为,当气球高度为 500 m 时, 观察员,视线的仰角增加
4、率是多少?,解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,则,两边对 t 求导,已知,h = 500m 时,思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以,100 mmin 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m,时, 仰角的增加率是多少 ?,提示:,对 t 求导,已知,求,试求当容器内水,例8. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 ,今以 自顶部向容器内注水 ,位等于锥高的一半时水面上升的速度.,解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x ,水的,两边对 t 求导,而,故,体积为 V , 则,内容小结,1. 隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2. 对数求
5、导法 :,适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数,3. 参数方程求导法,极坐标方程求导,4. 相关变化率问题,列出依赖于 t 的相关变量关系式,对 t 求导,相关变化率之间的关系式,转化,求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式,思考与练习,1. 求螺线,在对应于,的点处的切线方程.,解: 化为参数方程,当,时对应点,斜率, 切线方程为,2. 设,求,提示: 分别用对数微分法求,答案:,3. 设,由方程,确定 ,解:,方程两边对 x 求导,得,再求导, 得,当,时,故由 得,再代入 得,求,作业,P110 1(1) , (4) ; 2 ; 3 (3) , (4) ; 4 (2) , (4); 5 (2) ; 6 ; 7 (2) ; 8 (2) ,(4) ; 9 (2) ; 10 ; 12,求其反函数的导数 .,解:,方法1,方法2,等式两边同时对 求导,备用题,1. 设, 求,解：,2. 设,方程组两边同时对 t 求导, 得,
