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1、第三节等比数列,1、等比数列,a1qn1,amqnm,amanakal.,q2,qm,q,q1q2,b2=ac是a,b,c成等比的什么条件？ 提示：b2=ac是a,b,c成等比的必要不充分条件， 当b=0,a,c至少有一个为零时，b2=ac成立，但a,b,c不成等比，反之，若a,b,c成等比，则必有b2=ac.,2等比数列项的取值及变化 (1)等比数列an中，公比q0，an0. (2)设等比数列an中，a10，则当公比q 时，数列an为递增数列；当公比q 时，数列an为 递减数列 (3)设等比数列an中，a10，则当公比q 时， 数列an为递增数列；当公比q 时，数列an为 递减数列 (4)设
2、等比数列an中，若公比q0，则该数列各项之 间的符号关系为一正一负或一负一正,(1，),(0,1),(0,1),(1，),1设a12，数列an1是以3为公比的等比数列，则a4的值为() A80B81 C54 D53 【解析】由已知得an1(a11)qn1， 即an133n13n， an3n1，a434180. 【答案】A,2在等比数列an中，前n项和为Sn，若S37，S663，则公比q的值是() A2 B2 C3 D3 【解析】方法一：依题意，q1， 得1q39， q38，q2.,方法二：(a1a2a3)q3a4a5a6， 而a4a5a6S6S356， 7q356，q38，q2. 【答案】A,
3、3关于数列3,9，729，以下结论正确的是() A此数列不能构成等差数列，也不能构成等比数列 B此数列能构成等差数列，但不能构成等比数列 C此数列不能构成等差数列，但能构成等比数列 D此数列能构成等差数列，也能构成等比数列 【解析】由等差数列和等比数列的定义验证该数列3,9，729可知是公差为6的等差数列也可以是公比为3的等比数列 【答案】D,4在数列an，bn中，bn是an与an1的等差中项，a12，且对任意nN*，都有3an1an0，则bn的通项公式bn_. 【解析】由已知得an是以2为首项，以 为公比的等比数列， an2( )n1，an12( )n， 2bnanan12( )n12( )
4、n， bn . 【答案】,5设数列1，(12)，(12222n1)，的前n项和为Sn，则Sn_. 【解析】由已知得数列的通项an 2n1， Sn(2222n)n n2n1n2. 【答案】2n1n2,(2009年广州模拟)在数列an中，a12，an14an3n1，nN*. (1)证明：数列ann是等比数列； (2)求数列an的前n项和Sn； (3)证明：不等式Sn14Sn对任意nN*皆成立 【思路点拨】证明一个数列是等比数列常用定义法，,即 q，对于本例(1)适当变形即可求证，证明不等 问题常用作差法证明,【自主探究】(1)由题设an14an3n1得 an1(n1)4(ann)，nN*. 又a1
5、11，所以数列ann是首项为1，且公比为4的等比数列 (2)由(1)可知ann4n1，于是数列an的通项公式 为an4n1n. 所以数列an的前n项和Sn . (3)对任意的nN*， (3n2n4)0. 所以不等式Sn14Sn对任意nN*皆成立,【方法点评】等比数列的判定方法有： 1定义法：若 q(q为非零常数)或 q(q为非零常数且n2)，则an是等比数列 2中项公式法：若数列an中，an0且an12anan2(nN*)，则数列an是等比数列 3通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn(c，q均为不为0的常数，nN*)，则an是等比数列 4前n项和公式法：若数列an的前n项和Snkqnk(
6、k为常数且k0，q0,1)，则an是等比数列,【特别提醒】(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定 (2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比即可,1已知数列an中，Sn是它的前n项和，且Sn14an2(nN*)，a11，设bnan12an， 求证：数列bn是等比数列,【证明】Sn14an2 Sn24an12 得an24an14an， an22an12(an12an)， 又bnan12an， bn12bn，S24a126， a2S2a15， b1a22a130， bn是以3为首项，以2为公比的等比数列,设数列bn的前n项和为Sn
7、，且bn22Sn；数列an为等差数列，且a514，a720. (1)求数列bn的通项公式； (2)若cnanbn(nN*)，Tn为数列cn的前n项和， 求证：Tn .,【自主探究】(1)由bn22Sn，得b122S1， 又S1b1， 所以b1 ，由bn22Sn 得bn122Sn1 得bn1bn2bn1， 3bn1bn， 即 ，,【方法点评】等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)所求问题可迎刃而解解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程
8、【特别提醒】在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式,2设等比数列an的公比为q(q0)，它的前n项和为40，前2n项和为3 280，且前n项中数值最大项为27，求数列的第2n项 【解析】若q1， 则na140,2na13 280，矛盾 q1，,得1qn82，qn81 将代入得q12a1 又q0，q1，a10，an为递增数列 ana1qn127 由、得q3，a11，n4. a2na81372 187.,已知等比数列前n项的和为2，其后2n项的和为12， 求再往后3n项的和,【思路点拨】由已知条件，根据前n项和公式列出关于首项a1和公比q
9、及n的两个方程，应能解出a1和q关于n的表达式，这样可能较繁琐又不便于求出结果，若采用整体处理的思路，问题就会变得简单，也可采用等比数列的性质使问题简化 【自主探究】方法一：利用等比数列的性质由已知 a1a2an2， an1an2a2na2n1a2n2a3n12. 注意到(a1a2an)，(an1an2a2n)， (a2n1a2n2a3n)，(a3n1a3n2a4n)，,也成等比数列，其公比为qn，于是，问题转化为已知： A12，A1qnA1q2n12， 要求A1q3nA1q4nA1q5n的值 由A12，A1qnA1q2n12， 得q2nqn60，则qn2或qn3. 由A1q3nA1q4nA1
10、q5n A1q3n(1qnq2n)2q3n714q3n .,方法二：利用求和公式 如果公比q1，则由于a1a2an2， 可知an1a3n4，与已知不符， q1，由求和公式，得 式除以式得qn(1qn)6， q2nqn6， 解得qn2或qn3. 又再往后3n项的和S ，,【方法点评】等比数列的性质可以分为三类：1.通项公式的变形，2.等比中项的变形，3.前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口,3已知数列an是等比数列，首项为a1，公比不等于1，又其中有连续三项分别是一等差数列的第t，k，p项，求等比数列an的通项公式 【解析】设符合题设的等比数列an
11、中的连续三项为am， am1，am2，则am1amq，am2am1q(q为公比)， 两式相减，得q ， 又am1am(kt)d，即am1am(kt)d， 同理am2am1(pk)d(d为公差)， 故q ， 所求的通项公式为an,1(2009年宁夏海南高考)等比数列an的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列，若a11，则S4() A7B8 C15 D16 【解析】不妨设数列an的公比为q，则4a1,2a2，a3成等差数列可转化为2(2q)4q2，得q2. S4 15. 【答案】C,2(2009年辽宁高考)设等比数列an的前n项和为Sn，若 () A2 B. C. D3 【解析】设数列
12、an的公比为q，则 = 1q33，所以 ， 故选B. 【答案】B,3(2009年广东高考)已知等比数列an满足an0，n1,2，且a5a2n522n(n3)，则当n1时，log2a1log2a3 log2a2n1() An(2n1) B(n1)2 Cn2 D(n1)2 【解析】设等比数列an的首项为a1公比为q，a5a2n522n(n3)，a1q4a1q2n622n，即a12q2n222n(a1qn1)222n(an)2(2n)2，an0，an2n，a2n122n1，log2a1log2a3log2a2n1log22log223log222n113(2n1) nn2，故选C. 【答案】C,4(
13、2009年浙江高考)设等比数列an的公比q ，前n项和为Sn，则 _. 【解析】 q3q2q11842115. 【答案】15,5(2009年江苏高考)设an是公比为q的等比数列，|q|1，令bnan1(n1,2，)，若数列bn有连续四项在集合53，23,19,37,82中，则6q_.,【解析】由anbn1，且数列bn有连续四项在集合53，23，19,37,82中则an有连续四项在集合54，24,18,36,81中经分析判断， 比较知an的四项应为24,36，54,81.又|q|1，所以数列an的公比为q ，则6q9. 【答案】9,1等比数列的判定方法,(1)定义法：即证明 q(q0，nN)(q
14、是与n值无关的常数) (2)中项法：证明一个数列满足an12anan2(nN且anan1an20) 2等比数列的前n项和公式 (1)等比数列的前n项和公式为 Sn,(2)等比数列前n项和公式的推导过程是一种特殊的求和方法错位相减法，应当掌握，适用于anbn(其中an为等差数列，bn为等比数列)这种类型的数列求和 3解决等比数列有关问题的常见思想方法 (1)方程的思想：等比数列中五个量a1、an、n、q、Sn一般可以“知三求二”通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解 (2)分类讨论的思想：利用等比数列前n项和公式时要分公比q1和q1两种情况讨论；研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a10，q1或a10,0q1时为递增数列；当a10，q1或a10,0q1时为递减数列；当q0时为摆动数列；当q1时为常数列,(3)函数的思想：等比数列的通项公式ana1qn1 qn(q0且q1)常和指数函数相联系 (4)整体思想：应用等比数列前n项和时，常把qn， 当成整体求解 4巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要,课时作业 点击进入链接,
