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1、一、拉格朗日(Lagrange )定理,定理1:,第一节 拉格朗日定理 洛必达法则,第三章 导数的应用,拉格朗日中值定理可由下图来说明,图3-1,拉格朗日中值定理的证明:,构造辅助函数,拉格朗日中值公式,定理2：,1、 型未定式,解,解,解,定理3：,2、 型未定式,解,解,3、其他未定型极限,解,解,这显然是一个错误的结果!,注意3：只有未定式才能使用洛必达法则, 非未定式极限应使用极限运算法则来处理. 有些未定式,使用多次洛必达法则之后,已经成为非未定式极限, 就不能再使用洛必达法则了.,一、函数单调性的判定,第二节 函数的单调性与极值,观察下列图形,能否发现其规律性?,函数单调性的判别方
2、法,定理1:,例1.,解,例2.,解,驻点,注意,例3,例4,例5,定理3 (极值存在的充分条件),二、函数的极值,根据定义，结合下边图形，你是否能对极值做几点说明?,注意,解,解,一、函数的最值,第三节 函数的最大值与最小值,注意,可见,解,解,思考,( 二 ) 函数的最值应用举例,解:如图所示，设截去的小正方形边长为x， 则做成的方匣容积为 y=(48-2x)2x,例3 设有一块边长为48cm的正方形铁皮，从其各角截去同样的小正方形， 做成一个无盖的方匣，问截去多少，方能使做成的匣子的容积最大?,本题就归结为求函数y=(a-2x)2x在 中的最大值问题了.,令 y=12(24x)(8 x)
3、 = 0 得,当 时， y=0，所以截去边长为 的小正方形时， 所做匣子的容积最大.,例4 设由电动势E、内阻r与外阻R 所构成的闭合电路如图所示，在r与E已知时， R等于多少才能使电功率最大? 解:由电学知道，消耗在外阻R上的 电功率为P=I2R， I为回路中的电流. 由欧 姆定律知电流强度 ， 所以电功 率P为R的函数：,(R0),解方程P=0， 得P在区间(0， +)内 有唯一驻点R=r. 由该问题的实际意义可知， 电功率的最大值是存在的， 故这唯一的驻点 R=r处， 电功率P取得最大值， 即当外阻等 于内阻时输出功率最大， 最大功率 为 .,因为,解,第四节 曲线的凹凸性与拐点,1.凹凸性的定义,如图,2.凹凸性的判别方法,(1),(2),注意,答案,例1,答案,例2,答案,例3,答案,例4,第五节 函数图像的描述,一、曲线的渐近线,曲线渐近线的求法,例1,二、函数图像的描述,解,极大,凸,凹,凸,凹,拐点,极小,解,极大,凹,凹,凸,凸,拐点,拐点,第六节 曲线的曲率,一、曲线的曲率及其计算公式,注意,曲率问题就是研究曲线的弯曲程度问题,平均曲率,而,曲率公式,解,二、曲率圆和曲率半径,
