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1、32函数模型及其应用,32.2函数模型的应用举例,新 知 视 界 1函数模型应用的两个方面 (1)利用已知函数模型解决问题； (2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测,2应用函数模型解决问题的基本过程,自 我 检 测 1今有一组数据，如表所示：,下列函数模型中，最接近地表示这组数据满足的规律的一个是() A指数函数B反比例函数 C一次函数 D二次函数 解析：画出散点图，结合图象可见各个点接近于一条直线，所以可用一次函数表示 答案：C,2某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次由一个分裂成两个，这种细菌由一个繁殖成4096个需要经过的小时数为() A12小
2、时B4小时 C3小时 D2小时 解析：设需要x个15分钟，由题意2x4096，x12. 共需1512180分钟，选C. 答案：C,3某工厂2006年生产一种产品2万件，计划从2007年开始每年的产量比上一年增长20%.则这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件时是_年(已知lg20.3010，lg30.4771)() A2015 B2016 C2017 D2018,解析：此题是平均增长率问题的变式考题，哪一年的年产量超过12万件，其实就是求在2006年的基础上再过多少年其年产量大于12万件 设再过n年这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件， 根据题意，得2(120%)n12，即1.2n6，两
3、边取对数，得nlg1.2lg6.,答案：B,互 动 课 堂,典 例 导 悟 类型一利用已知函数模型解决问题 例1通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力信赖于老师引入概念和描述问题所用的时间讲授开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式：,(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？ (2)开讲后5 min与开讲后20 min比较，学生的接受能力何时强一些？
4、 (3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13 min时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？,解(1)当0x10时， f(x)0.1x22.6x430.1(x13)259.9. 故f(x)在(0,10上单调递增，最大值为 f(10)0.1(3)259.959； 当16x30时，f(x)单调递减， f(x)31610759. 因此，开讲后10 min，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6 min.,(2)f(5)0.1(513)259.959.96.453.5， f(20)3201074753.5f(5) 因此，开讲后5 min学生的接受能力比开讲后20
5、min强一些 (3)当0x10时，令f(x)55， 则0.1(x13)24.9，(x13)249. 所以x20或x6. 但0x10，故x6. 当16x30时，令f(x)55，则3x10755.,点评本题是常数函数、一次函数、二次函数混合在一起的分段函数，自变量的取值不同函数解析式可能不一样，这一点要特别注意另外，函数的最值也是通过先求每一段的最值，然后再作比较而求得,(1)要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？ (2)工厂生产多少台产品时盈利最大？并求此时每台产品的售价为多少？,类型二建立函数模型解决问题 例2随着我国加入WTO，某市某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产，打入
6、国际市场已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：(单位：万美元),其中年固定成本与年生产的件数无关，a为常数，且3a8.另外，年销售x件乙产品时需上交0.05x2万美元的特别关税 (1)写出该厂分别投资生产甲、乙两产品的年利润y1、y2与生产相应产品的件数x(xN)之间的函数关系； (2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润； (3)如何决定投资可获最大年利润,解(1)y1(10a)x20(1x200，xN*)， y20.05x210 x40(1x120，xN*) (2)10a0，故y1为关于x的增函数， x200时，y1获得最大年利润S11980200a万美元， y20.05(x100)2
7、460(1x120，xN*) x100时，y2获得最大利润，S2460万美元,(3)S1S2200(7.6a)，故当3aS2，投资生产200件甲产品可获较大利润 a7.6时S1S2，投资200件甲产品与100件乙产品可获相同利润， 76a8时，S1S2，投资生产100件乙产品可获较大利润,(1)写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围； (2)当140a280时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(注：在保证能取得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁),类型三建立拟合函数模型解决问题 例3某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：,该经营者
8、准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A、B两种商品各多少万元才合算请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两个有效数字) 分析只给出数据，没明确函数关系，这样就需要准确的画出散点图然后根据图形选择合适的函数模型来解决实际问题,解以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图2所示,观察散点图可以看出，A种商品的所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图2所示 取(4,2)为最高点，则ya(x4)22，再把点(1,0.65)代入，得0.65a(14)22，解得a0.
9、15，所以y0.15(x4)22. B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图所示,即前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y0.15(x4)22；前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y0.25x. 设下月投入A、B两种商品的资金分别为xA，xB(万元)，总利润为W(万元)，,点评根据题中给出的数值，画出散点图，然后观察散点图，选择合适的函数模型，并求解新的问题，这是本节新的解题思路请同学们在用待定系数法求解析式时，选择其它数据点，观察结果的差异,变式体验3芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可以
10、美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场，某人准备进入芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进入市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/10 kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：,(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Qatb；Qat2btc；Qabt；Qalogbt； (2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时上市天数t及最低种植成本？,解：(1)由所提供的数据知，反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系不可能是常数函数，故用上述四个函数中任意一个来反映时都应有a0，而函数Qatb，Qabt
11、，Qalogbt均为单调函数，这与表格所给数据不符合，所以应选择二次函数yat2btc，将上述表格中的数据代入可得：,思 悟 升 华 1建立数学模型是解决数学问题的主要方法对于确定性函数模型，只需对应用问题进行定量分析，这类问题相对简单 2对于已经过提炼加工，忽略了次要因素，保留下来的诸因素之间的数量关系比较清楚的实际问题，建立函数模型，解决实际问题，只要学会阅读题目，分析条件，归纳出变量之间的函数关系，写出函数关系式即可,3建立拟合函数模型解决实际问题，其基本过程是,图3,4在根据数据特点选择函数模型时，由于应用问题本身的繁杂性、开放性，根据自己理解所建立的模型也有局限性，最后要对模型的解检验，或取或舍，或重新修正模型，直到满意为止 但有时由于要面临的问题比较复杂，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的，可利用表中数据输入计算器或计算机，然后通过拟合功能选择合适的函数模型,由于选择的数据不同，有时从收集的数据中得到的拟合模型结果会有所差别，但只要误差在允许范围内就认为是合适的,课时作业（25）,
