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1、高中数学资料分享QQ群 :464397488立体几何中的截面1截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。2、正六面体的基本斜截面：3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。 【基本技能】技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题；技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题
2、；技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；技能4.建立函数模型求最值问题：设元建立二次函数模型求最值。1【江西省吉安市2019-2020学年高二上学期期末数学】在正方体中，为的中点，为棱上的动点(不包括端点)，过点的平面截正方体所得的截面的形状不可能是（ ）A四边形 B等腰梯形C五边形D六边形【答案】D【解析】不妨设正方体的棱长为，当，截面为四边形；如图特别的，当时，截面为等腰梯形；如图截面为五边形，不可能为六边形.如图2【2020届辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三上学期期末】如图圆锥PO
3、，轴截面PAB是边长为2的等边三角形，过底面圆心O作平行于母线PA的平面，与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其顶点E的距离为( )A1BCD【答案】D【解析】过底面圆心O作平行于母线PA的平面，与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，平面PAB, 平面PAB与圆锥的侧面交于OE, 所以OE|PA.因为OA=OB，所以OE=1=OC,因为OP底面ABC,所以OPOC,因为OCOE,OP,OE平面PAB,OPOE=0,所以OC平面PAB,所以OCOB.在平面内建立直角坐标系设抛物线的方程为， ，所以该抛物线的焦点到其顶点E的距离为故选：D3一个棱长为2的正方体被
4、一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则该截面的面积是（ ）ABCD【答案】A【解析】由三视图可知几何体是正方体在一个角上截去一个三棱锥， 其截面是等腰三角形，如下图：由于正方体的棱长为2，所以，所以边上高为，所以，故选：A4如图，在正方体中，点E，F，G分别是棱，的中点，过E，F，G三点作该正方体的截面，则下列说法错误的是（ ）A在平面内存在直线与平面平行B在平面内存在直线与平面垂直C平面平面D直线与所成角为【答案】D【解析】由线面平行判定定理可得，当O为的中点时，平面，由线面垂直判定定理可得，平面，选项A，B都对.因为，所以平面平面，选项C正确，易得：,为等边三角形，故直线与所成角为
5、,即直线与所成角为，故D不正确，故选：D.5【云南省昆明市2019-2020学年高三下学期1月月考数学】某同学在参加通用技术实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的半径是（ ）A2B4CD【答案】B【解析】设截面圆半径为，球的半径为，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即，根据截面圆的周长可得，得，故由题意知，即，所以，故选：B6美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习
6、素描最重要的一步.某中学2018级某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成角，则该椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】B【解析】设圆柱的底面半径为,椭圆的长轴为,短轴为,则,即,故离心率.故选:B.7如图，已知三棱锥，点是的中点，且，过点作一个截面，使截面平行于和，则截面的周长为（ ）ABCD【答案】D【解析】如图所示，设AB、BC、VC的中点分别为D,E,F，连接PD,DE,EF,PF.由题得PD|VB,DE|AC,因为平面DEFP,VB,AC不在平面DEFP内，所以VB|平面
7、DEFP,AC|平面DEFP,所以截面DEFP就是所作的平面.由于,所以四边形DEFP是平行四边形，因为VB=4,AC=2,所以PD=FE=2,DE=PF=1,所以截面DEFP的周长为2+2+1+1=6.故选：D8【2020届广东省东莞市高三期末调研测试理科数学试题】已知球是正四面体的外接球，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是（ ）A B CD【答案】A【解析】由题,设平面为过的球的截面,则当平面时,截面积最小,设截面半径为,球的半径为,则,因为正四面体棱长为,设过点垂直于平面的直线交平面于点,则,令,则,在中,即,则,在中,即,则,解得,则,在中,因为点在线段上,设中
8、点为,则,所以,在中,即,所以,因为,所以,所以截面面积为,故选：A9【2020届福建省福州市高三适应性练习卷数学理科试题】在三棱锥中，底面，是线段上一点，且.三棱锥的各个顶点都在球表面上，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（ ）A B CD【答案】C【解析】将三棱锥补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球，记三角形的中心为，设球的半径为，则球心到平面的距离为，即，连接，则，.在中，取的中点为，连接，则，所以.在中，由题意得到当截面与直线垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为，则，所以最小截面圆的面积为，当截面过球心时，截面面积最大为，所以，球
9、的表面积为.故选:C.10【2020届重庆南开中学高三第五次教学质量检测考试数学文科试题】正三棱锥，为中点， ，过的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积范围为（ ）ABCD【答案】D【解析】因为正三棱锥，所以，即，同理，因此正三棱锥可看作正方体的一角，如图，记正方体的体对角线的中点为，由正方体结构特征可得，点即是正方体的外接球球心，所以点也是正三棱锥外接球的球心，记外接球半径为，则，因为球的最大截面圆为过球心的圆，所以过的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积最大为；又为中点，由正方体结构特征可得；由球的结构特征可知，当垂直于过的截面时，截面圆半径最小为，所以.因此，过的平面截三棱锥的外接球所得截面
10、的面积范围为.故选：D.11一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三梭锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的（ ）ABCD【答案】C【解析】其空间结构体如下图所示:易知截面是一个非等边的等腰三角形,排除AD；等腰三角形的底边是正三棱锥的一条,这条棱不可能与内切球有交点,所以排除B；截面所得等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥两个面的中线,且经过内切球在两个面上的切点,所以正确答案是C故选:C12【2020届湖北省部分重点中学高三第二次联考数学试卷理科试题】如图，已知四面体ABCD的各条棱长均等于
11、4，E，F分别是棱AD、BC的中点.若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（）AB4CD6【答案】B【解析】将正四面体补成正方体如图，可得平面，且正方形边长为，由于，故截面为平行四边形，且，又，且，当且仅当时取等号，故选：B13【2020届辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三上学期期末】仿照“Dandelin双球”模型，人们借助圆柱内的两个内切球完美的证明了平面截圆柱的截面为椭圆面如图，底面半径为1的圆柱内两个内切球球心距离为4，现用与两球都相切的平面截圆柱所得到的截面边缘线是一椭圆
12、，则该椭圆的离心率为( )A B CD【答案】D【解析】画出图形的轴截面如图所示，则为椭圆的长轴，圆柱的底面直径为椭圆的短轴；依题意，则在中有即椭圆中，故选：14已知正方体的边长为2，边的中点为，过且垂直的平面被正方体所截的截面面积为（ ）A B CD【答案】A【解析】如图，连结，易知，又，则平面，故，同理可证明平面，则，又，故平面.取的中点，的中点，易知平面平面，所以平面，即为所求截面.易知为正三角形，边长，故.故选：A.15在棱长为2的正方体中，分别是，的中点，设过，的截面与面，以及面的交线分别为，则，所成的角为（ ）A B CD【答案】D【解析】因为，在正方体中，分别是，的中点，取，的中
13、点分别为，连接， ，根据正方体的特征，易知，若连接，则这三条线必相交于正方体的中心，又，所以，六点必共面，即为过，的截面；所以即为直线，即为直线；连接，因为，所以即为异面直线与所成的角，又因为正方体的各面对角线都相等，所以为等边三角形，因此.故选：D.16在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面，如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别是棱B1B、B1C中点，点G是棱CC1的中点，则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为（）A矩形B三角形C正方形D等腰梯形【答案】D【解析】取的中点，如图连接、，由题意得：，不在平面内，平面内，平面.不在平面内，平面内，平面.，平面，平面平面，过线段且平行于平面的截面图形为等腰梯形故选：17【2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（理)试题】如图四面体中，截面四边形满足，则下列结论正确的个数为（ ）四边形的周长为定值四边形的面积为定值四边形为矩形四边形的面积有最大值1A0 B1
