《第三节高阶方程的降阶和幂级数解法课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第三节高阶方程的降阶和幂级数解法课件（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、特别是，对于二阶（变系数）齐线性方程，如果知道它的一个非零特解，则可利用降阶法来求得与它线性无关的另一个特解，从而得到方程的通解。对于非齐线性方程，只需再运用常系数变易法求出它的一个特解，问题也就解决了。,第三节、高阶方程的降阶和幂级数解法,一般的高阶微分方程没有普遍的解法，处理方法：,降阶。,在于寻找齐线性方程的一个非零特解。,因此，问题的关键：,一、可降阶的一些方程类型,方程不显含自变量 的方程，可引进变换把原方程降一阶为 阶方程。,齐线性方程：通过非零特解作变换进行降阶。,方程不显含未知函数 ，或更一般地，设方程不含 , 即方程可降阶为 阶方程。,主要内容,二、二阶线性方程的幂级数解法,
2、(目的：变换之后的方程能够求解。),一般形式的n阶微分方程：,特殊形式的n阶微分方程：,引入变换：,降阶后的微分方程：,1、方程不显含未知函数 ，或更一般地，设方程不含 ,即方程可降阶为 阶方程。,一、可降阶的一些方程类型,【例1】 求方程的解 .,分析：引进变换，改写原方程，多次积分.,2、方程不显含自变量 t 的方程，可引进变换把原方程降一阶为 n-1 阶方程。,实质：若令 ，并以它为新的未知函数，而视x为新的自变量，此时方程可降一阶。事实上，有,于是，有,一、可降阶的一些方程类型,【例2】 求方程 的解。,讨论： 的情况,分析：引进变换，改写原方程，求解，讨论.,讨论： 的情况,求解得
3、,作变换,有,变量还原得到原方程的解 。,当 ，即 时，有解： .,【例3】 求数学摆的运动方程,满足初始条件：t=0时， 的解。,分析：引进变换，改写原方程，求解，讨论.,有,利用初始条件，有,结论：非线性的情形比线性的情形要复杂得多。,是一个椭圆积分，不能用初等函数表示出来。,是摆从最大正偏离角 第一次到达 所需时间。,令,有,通过分析，只需讨论摆在 时间内的情况即可。,3、齐线性方程,分析：求 n 阶齐线性方程（4.2）无普遍方法，这与常系数方程的求解有着很大的区别，但是通过分析知道，如果有一个非零特解，则利用变换，可将方程降低一阶;如果知道 k 个线性无关的特解，则通过一系列同类项的变
4、换，使方程降低 k 阶，并得到 n-k 阶方程，也是齐线性的。,一、可降阶的一些方程类型,引进变换 ，并引入新的未知函数 便得到新的n-1阶方程。,设 是方程（4.2）的k个线性无关的解。,求解（4.67）,就知道它的k-1个线性无关的解 。,这种方法对于二阶齐次线性微分方程尤其有效。如果知道它的一个非零解，则方程的求解问题解决了。（让同学们先推导！）,通过以上类似的变换，对方程（4.67）实施同样的变换，可将（4.67）降为n-2阶的方程，如此进行下去，可以将原方程（4.2）变为n-k阶方程。,设 是二阶齐线性方程,的解。于是有通解为：,例3 已知 是方程 的解， 试求方程的通解。,解：1、
5、公式法：已知特解求通解； 2、直接推导法：熟悉根据特解求通解的过程。,二、幂级数解法,二阶变系数齐线性方程的求解问题归结为寻求它的一个非零解，找非零解是一件很困难的事？而方程的系数是自变量的函数，不能再用代数方法去求解了。但是，从微积分学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。 因此，自然想到，用幂级数来表示微分方程的解。,例5 求方程 的满足初始条件y(0)=0的解。,解：分析：设 y 可以表示成级数形式：,为方程的解，这里 是待定系数，由此有,将 的表达式代入方程，并比较 x 的同次幂的系数，得到,这就是所求的解。事实上，方程是一阶线性的，容易求得它的通解,而由条件y(0)=
6、0, 确定常数c=-1 ，即得方程的解为。,例6 求方程 的满足初始条件y(0)=0的解。,解：,以 代入原方程并比较 的同次幂的系数。,并利用初始条件 ，有,于是有,此级数对任何 都是发散的，故，所给问题没有形如假设形式的级数解。,注意：并不是所有的微分方程的解都能表示成x的幂级数形式，它们或者因为级数的系数无法确定，或者因为所得级数不收敛。究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示？级数的形式如何？其收敛区间如何？等等这些问题，在微分方程解析理论中有完满的解答，在此不作介绍。可参阅叶彦谦翻译的高等数学教程第三卷第三分册第五章。这里只提一下Bessel方程和Bessel函数。,考
7、虑二阶齐线性方程,及初始条件,注：总可以假定 ，否则作变换,定理10 若方程(4.72)中系数 和 都能展成 的幂级数，且收敛区间为 ，则方程（4.72）有形如 的特解，收敛半径也为 。,4.3.3 第二宇宙速度的计算,问题,计算发射人造卫星的最小速度，即所谓第二宇宙速度。在这个速度下，物体将摆脱地球的引力，像地球一样绕着太阳运行。,注意分析说明方程的来源和求解方法。,通解为：,实际上就是解一个二阶微分方程（牛顿第二定律）。,利用初始条件，当 时， ，有,因而有,物体运动速度必须是正的，于是有,对于任意r成立，只有,所以，最小发射速度为,而地球表面的重力加速度为g,于是有,这就是第二宇宙速度。,作业：P182-183 1，2，5，6，7,小 结,高阶微分方程可降阶的类型； 幂级数求解微分方程的基本步骤； 第二宇宙速度的计算。,微分方程的求解是一个难题，能否不求解而研究微分方程解的性质？,问题：,
