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1、现代数字信号处理,第二章：卡尔曼滤波,内容,2.1 卡尔曼滤波器 2.2 由因果IIR维纳滤波器看卡尔曼滤波器 2.3 从bayes滤波角度看卡尔曼滤波器 2.4 卡尔曼滤波器的扩展,2.1 卡尔曼滤波器,What is Kalman filter? An optimal recursive data processing algorithm. R.E. Kalman (1960) Optimal? formulating the MMSE linear filtering problem (causal IIR Wiener filter) Recursive? The time-recur
2、sive processing of the input data,2.2 维纳滤波器的迭代实现,信号模型和测量模型：,因果IIR维纳滤波器 （前面推导结果）：,分别代表用n时刻以及n-1时刻及以前所有数据对s(n)和x(n)的估计值,一步预测:,第二步预测:,新息（Innovation）:,迭代形式,差分方程,新息,卡尔曼增益：,预测误差功率：,预测误差,估计误差功率和预测误差功率关系：,估计误差,结构框图,Initiation,计算步骤,（同时估计若干个信号）,信号矢量：例1,信号矢量,噪声矢量,参数矩阵,信号模型的矩阵形式,信号矢量：例2,观察/测量矢量,测量模型的矩阵形式,标量算术,矢
3、量算术,矢量卡尔曼滤波器的计算公式,2.3卡尔曼滤波的统计原理,状态模型和观察信号模型 贝叶斯滤波 卡尔曼滤波,状态模型和观测模型,假设实际系统的状态序列为 ，其中k为时间序列标号， 表示时间标号为k时的状态矢量， 为状态矢量的维数。状态间的转移关系为,系统观测到的序列为 ，其中 表示时间标号为k时的观测矢量。观测量和系统状态之间的关系为：,v和n分别为方差为Q和R的高斯白噪声,需要注意的是：这里x表示信号状态，z表示观察/测量值。,贝叶斯估计,假设需要计算的后验分布 在时刻k-1已经得到，那么我们利用状态模型可以获得时刻k状态的先验概率分布：,注意：做了如下假设（即认为状态模型为一阶马尔科夫
4、过程）：,在k时刻可以获得新的观测矢量Zk，基于贝叶斯准则可以利用测量模型来更新先验概率分布，从而获得需要的滤波结果：,两个步骤递归计算就构成了最优的贝叶斯估计。遗憾的是，式和在很多场合下没有可分解的计算方法，所以它们只是一个理论上的解。基于特定分布的假设，如高斯分布可以获得最优估计的解析的计算方法 。,(1),(2),卡尔曼滤波,卡尔曼滤波器认为后验概率在任何时刻都是高斯分布的，这样由均值和方差就可以完全确定其概率分布。可以证明，如果 是高斯的，那么要使 也是高斯的话，隐含了下面的假设： v和n都是参数已知的高斯分布 是 和 的线性函数 是 和 的线性函数,(1) (2),取后验均值作为状态的估计值-卡尔曼滤波,滤波过程,（1）状态一步预测（先验分布均值） （2）预测误差功率（先验分布方差）,计算卡尔曼增益 使用观察值更新预测（求后验分布均值） 求估计误差功率（求后验分布方差）,预测,更新,初始估计：,2.4 卡尔曼滤波器扩展（非线性）,1。Extended Kalman Filter(EKF),2。The Unscented Kalman Filter(EKF),非线性？,解决：使用他们的泰勒展开式的一阶线性近似。,思想：近似一个高斯的分布比近似一个任意的非线性函数要容易的多。,EKF与无色变换的比较,g()为非线性函数,
