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1、第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,二重积分的计算法,第8章,曲顶柱体体积的计算,设曲顶柱的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,同样, 曲顶柱的底为,则其体积可按如下两次积分计算,说明: (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 ,为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.,则有,(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域 ,则,计算二重积分,如图,且,所以,解,例1. 计算,其中D 是直线 y1, x2, 及,yx 所围的闭区域.,解法1. 将D看作X型区域, 则,解法2. 将D看作Y型区域, 则,例2. 计算,
2、其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解: 为计算简便,因此取D 为Y 型域 ,及直线,则,例3. 计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :,先对 x 积分不行,说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.,例4. 交换下列积分顺序,解: 积分域由两部分组成:,视为Y型区域 , 则,例5. 计算,其中D 由,所围成.,解: 令,(如图所示),显然,对应有,二、利用极坐标计算二重积分,在极坐标系下, 用同心圆 r =常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,在,内取点,及射线 =常数, 分划区域D 为,即,设,则,特别, 对,例7,计算二
3、重积分,其中,积分区域为,解,由对称性,可只考虑第一象限部分,注意到被积函数也有对称性,则有,例8,计算二重积分,所围成的平面区域.,解,以1为半径的圆域,如图.,其边界曲线的极坐标方程为,所以,例9. 计算,其中,解: 在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,注:,利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,解,计算概率积分,例10,记,其平方,于是,根据上例的结果,即有,令,并利用夹逼定理,得,故所求概率积分,例11. 求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解: 设,由对称性可知,内容小结,(1) 二重
4、积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形 :,若积分区域为,则,若积分区域为,则,则,极坐标系情形: 若积分区域为,(2) 计算步骤及注意事项, 画出积分域, 选择坐标系, 确定积分序, 写出积分限, 计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,( 先积一条线, 后扫积分域 ),充分利用对称性,应用换元公式*,作业,8-2 2 (2), (4); 4 (3), (4); 9 (2), (4); 11 (2), (4);,解：,原式,备用题,1. 给定,改变积分的次序.,2. 计算,其中D 为由圆,所围成的,及直线,解：,平面闭区域.,交换积分顺序,提示: 积分域如图,
