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1、1,多元函数的极值和最值,条件极值 拉格朗日乘数法,小结 思考题 作业,第八节 多元函数的极值与 拉格朗日乘数法,第八章 多元函数微分法及其应用,2,一、多元函数的极值和最值,1.极大值和极小值的定义,一元函数的极值的定义:,是在一点附近,将函数值比大小.,定义,点P0为函数的极大值点.,类似可定义极小值点和极小值.,?,设在点P0的某个邻域,为极大值.,则称,3,函数的极大值与极小值统称为函数的,函数的极大值点与极小值点统称为函数的,多元函数的极值也是局部的,一般来说:极大值未必是函数的最大值.极小值未必是函数的最小值.,有时,极值.,极值点.,内的值比较.,是与P0的邻域,极小值可能比极大
2、值还大.,5,2.极值的必要条件,证,定理1,(必要条件),则它在该,点的偏导数必然为零:,有极大值,不妨设,都有,说明一元函数,有极大值,必有,类似地可证,6,推广,如果三元函数,具有偏导数,则它在,有极值的必要条件,为,均称为函数的,驻点,极值点,仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的,点,驻点.,如何判定一个驻点是否为极值点,如,驻点,但不是极值点.,?,7,3.极值的充分条件,定理2,(充分条件),的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数,处是否取得极值的条件如下:,(1),有极值,有极大值,有极小值;,(2),没有极值;,(3),可能有极值,也可能无极值.,8,求函数 极值的一般步骤
3、:,第一步,解方程组,求出实数解,得驻点.,第二步,对于每一个驻点,求出二阶偏导数的值,第三步,定出,的符号,再判定是否是极值.,9,例,解,又,在点(0,0)处,在点(a,a)处,故,故,即,的极值.,在(0,0)无极值;,在(a,a)有极大值,10,解,练习,求由方程,将方程两边分别对x, y求偏导数,由函数取极值的必要条件知,驻点为,将上方程组再分别对x, y求偏导数,法一,11,故,函数在P有极值.,代入原方程,为极小值;,为极大值.,所以,所以,12,求由方程,解,练习,法二,配方法,方程可变形为,于是,显然,根号中的极大值为4,由可知,为极值.,即,为极大值,为极小值.,13,取得
4、.,然而,如函数在个别点处的偏导数不存在,这些点当然不是驻点,如:,函数,不存在,但函数在点(0,0)处都具有极大值.,在研究函数的极值时,除研究函数的驻点外,还应研究偏导数不存在的点.,由极值的必要条件知,极值只可能在驻点处,但也可能是极值点.,在点(0,0)处的偏导数,14,考研数学(一), 4分,选择题,已知函数f (x, y)在点(0, 0)的某个邻域内连续,则,(A) 点(0, 0)不是f (x, y)的极值点.,(B) 点(0, 0)是f (x, y)的极大值点.,(C) 点(0, 0)是f (x, y)的极小值点.,(D) 根据所给条件无法判断点(0, 0)是否为f (x, y)
5、的极值点.,15,其中最大者即为最大值,与一元函数相类似,可利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,4.多元函数的最值,求最值的一般方法,最小者即为最小值.,将函数在D内的所有嫌疑点的函数值及,在D的边界上的最大值和最小值相互比较,16,解,(1) 求函数在D内的驻点,由于,所以函数在D内无极值.,(2) 求函数在 D边界上的最值,(现最值只能在边界上),围成的三角形闭域D上的,最大(小)值.,例,D,17,在边界线,在边界线,由于,最小,由于,又在端点(1,0)处,所以,最大.,有驻点,函数值,有,单调上升.,18,在边界线,所以, 最值在端点处.,由于,函数单调下降,(3),比较,19,
6、解,练习,此时,的最大值与最小值.,驻点,得,20,对自变量有附加条件的极值.,其他条件.,无条件极值,对自变量除了限制在定义域内外,并无,条件极值,二、条件极值 拉格朗日乘数法,21,解,例,已知长方体长宽高的和为18,问长、宽、高,各取什么值时长方体的体积最大？,设长方体的长、宽、高分别为,由题意,长方体的体积为,且长方体体积,一定有最大值,体体积最大.,故当的长、宽、高都为6时长方,由于V在D内只有一个驻点,22,上例的极值问题也可以看成是求三元函数,的极值,要受到条件,的限制,这便是一个条件极值,问题.,目标函数,约束条件,有时条件极值,目标函数中化为无条件极值.,可通过将约束条件代入
7、,但在一般情形,甚至是不可能的.,下面要介绍解决条件极值问题的一般,方法:,下,这样做是有困难的,拉格朗日乘数法,23,拉格朗日乘数法:,现要寻求目标函数,在约束条件,下取得,如函数(1)在,由条件,(1),(2),极值的必要条件.,取得所求的极值,那末首先有,(3),确定y是x的隐函数,不必将它真的解出来,则,于是函数(1),即,取得所,取得极值.,求的极值.,24,其中,代入(4)得:,由一元可导函数取得极值的必要条件知:,(4),取得极值.,在,(3) ,(5)两式,取得极值的必要条件.,就是函数(1)在条件(2)下的,25,设,上述必要条件变为:,(6)中的前两式的左边正是函数:,(6
8、),的两个一阶偏导数在,的值.,函数,称为拉格朗日函数,称为拉格朗日乘子,是一个待定常数.,26,拉格朗日乘数法:,极值的必要条件,在条件,要找函数,下的可能极值点,先构造函数,为某一常数,其中,可由,解出,其中,就是可能的极值点的坐标.,27,如何确定所求得的点,实际问题中,非实际问题我们这里不做进一步的讨论.,拉格朗日乘数法可推广:,判定.,可根据问题本身的性质来,的情况.,自变量多于两个,是否为极值点,?,28,解,则,又是实际问题,解得唯一驻点,一定存在最值.,令,29,解,为椭球面上的一点,令,则,的切平面方程为,在第一卦限内作椭球面,的,使切平面与三个坐标面所围成的,例,切平面,四
9、面体体积最小,求切点坐标.,30,目标函数,该切平面在三个轴上的截距各为,化简为,所求四面体的体积,约束条件,在条件,下求V 的最小值,31,约束条件,令,由,目标函数,32,可得,即,当切点坐标为,四面体的体积最小,33,练习,解,为简化计算,令,是曲面上的点,它与已知点的距离为,问题化为在,下求,的最小值.,目标函数,约束条件,34,设,(1),(2),(3),(4),35,由于问题确实存在最小值，,故,得唯一驻点,还有别的简单方法吗,?,用几何法!,36,练习,解,为此作拉格朗日乘函数:,上的最大值与最小值.,在圆内的可能的极值点;,在圆上的最大、最小值.,37,最大值为,最小值为,38
10、,2002年考研数学(一), 7分,设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为,小山的高度函数为,(1) 设M(x0 , y0)为区域D上一点,问h(x, y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?,若记此方向导数,的最大值为g(x0 , y0),试写出g(x0 , y0)的表达式.,(2) 现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点.,是说,要在D的边界线,上找出使(1)中,的g(x, y)达到最大值的点.,试确定攀岩起点的位置.,也就,练习,39,解,(1) 由梯度的几何意义知,方向的方向导数最大,h(x, y)在点M(x0 ,
11、y0),处沿梯度,方向导数的最大值为该,梯度的模,所以,(2) 令,由题意,只需求,在约束条件,下的最大值点.,令,40,则,(1),(2),(3),(1) + (2):,从而得,由(1)得,再由(3)得,由(3)得,于是得到4个可能的极大值点,可作为攀登的起点.,41,多元函数极值的概念,条件极值 拉格朗日乘数法,多元函数取得极值的必要条件、充分条件,多元函数最值的概念,三、小结,(上述问题均可与一元函数类比),42,思考题,答,不一定.,二元函数,在点,处有极值,(不妨设为极小值),是指存在,当点,且,沿任何曲线趋向于,一元函数,在点 x0,处取得有极小值,表示动点,且,沿直线,43,并沿该直线(即沿平行于Ox轴的正负,方向)趋向于,它们的关系是:,在点,取得极大(小)值,取得极大(小)值.,
