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1、Chapter 5(1),不定积分的概念与性质,教学要求：,1. 理解原函数与不定积分的概念;,2. 掌握不定积分的基本公式;,3. 掌握不定积分的性质.,2. 原函数的定义,3. 原函数的存在性,定理1.,问题：,(1) 原函数是否唯一？,(2) 若不唯一,它们之间有什么联系？,若函数f(x)在区间I上连续, 则f(x)在I上存在 原函数F(x).,定理2.,设F(x)是f(x)在区间I内的一个原函数, 则,Proof.,注意:,(1) 初等函数在其定义区间上都有原函数.,(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数.,(3) 原函数不唯一.,(4) 如果f(x)在I上存在原函数,则称f(x)在
2、I上可积.,1. 定义,函数f(x)在区间I上的原函数全体, 称为f(x)在I上的 不定积分. 记为,积分号,被积函数,被积表达式,积分变量,注意:,尽管不定积分中各个部分都有其独特的含义，但在 使用时须作为一个整体看待.,(2) 积分变量是指d后面的那个量.,(3) 不定积分与原函数是两个不同的概念，它们是整体 个体的关系，原函数是一个函数，不定积分是一族 函数.,2. 不定积分的几何意义,若F(x)是f(x)的一个原函数,则称y=F(x)的图形为f(x)的 一条积分曲线.,如图.,x,o,y,这些曲线在横坐标 相同处切线平行.,Example 1. 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的
3、切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.,Solution.,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点（1，2）,所求曲线方程为,是常数);,说明：,简写为,Proof.,故结论正确.,性质(1)(2)说明微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 性质(3)可推广到有限多个函数之和的情况.,(k为任意常数),Solution.,+ C,Example 3.,Solution.,Example 4.,Solution.,Example 5.,Solution.,Example 6.,Solution.,Solution.,Example 7. 计算,Solution.,Example 8. 计算,
4、Solution.,Example 9. 计算,Example 10.,Solution.,Example 11.,Solution.,Example 12.,Solution.,Example 13.,Solution.,Solution:,说明：,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.,Example 14. 计算,Example 15.,Solution.,所求曲线方程为:,The end,思考题,符号函数,在 内是否存在原函数？为什么？,思考题解答,不存在.,假设有原函数,故假设错误.,所以 在 内不存在原函数.,结论,每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.,
