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1、6.2 定积分在几何学上的应用,一、平面图形的面积 二、体积 三、平面曲线的弧长,一、平面图形的面积,1、直角坐标情形,我们将给出在直角坐标下 求面积的定积分公式。,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,直角坐标系情形,解,两曲线的交点,选 为积分变量,于是所求面积,说明：注意各积分区间上被积函数的形式,问题：,积分变量只能选 吗？,解,两曲线的交点,选 为积分变量,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,面积元素,曲边扇形的面积,2.极坐标系情形,解,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积,解,利用对称性知,旋转体就是由一个平面图
2、形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,1.旋转体的体积,旋转体的体积为,解,直线 方程为,解,解,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,立体体积,2.平行截面面积为已知的立体的体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,三、平面曲线的弧长,平面曲线弧长的概念,并称该曲线弧是可求长的。,定理: 光滑曲线弧是可求长的。,弧长元素,弧长,直角坐标表示的平面曲线的弧长,解,所求弧长为,曲线弧为,弧长,参数方程表示的平面曲线的弧长,解,
3、星形线的参数方程为,根据对称性,第一象限部分的弧长,证,根据椭圆的对称性知,故原结论成立.,曲线弧为,弧长,极坐标方程表示的平面曲线的弧长,解,解,微元法的提出、思想、步骤.,（注意微元法的本质）,求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.,（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）,四、小结,旋转体的体积,平行截面面积为已知的立体的体积,绕 轴旋转一周,绕 轴旋转一周,平面曲线弧长的概念,直角坐标系下,参数方程情形下,极坐标系下,弧微分的概念,求弧长的公式,作业,P284 2（2，4）， 3， 4，6，8，10，12， P285 15（1，4）， 17，18，21，25,
