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1、1,定义6.6.1,对于该邻域内的任意点 ( x , y ),若恒有不等式,极大值与极小值统称为极值.,例如：,在点,处取得极小值.,在点,处取得极大值.,函数 z = f ( x , y ) 在点 P ( x0 , y0 )某邻域内有定义,则称该函数在点 P 处有极大值,使函数取得极值的点统称为极值点.,在点,既不取得极大值也不取得极小值.,则称该函数在点 P 处有极小值,6.6 二元函数的极值,6.6.1 二元函数的极值,2,定理6.6.1 (必要条件),则, 特别地,取,有,由一元函数极值必要条件知,同理,在 x = x0 点取得极大值，,考虑一元函数,3,注意:,1)若极值点的偏导数存
2、在，极值点必是驻点.,2)函数的驻点不一定是极值点.,例,3)函数的极值点也可能是偏导数不存在的点.,但在 (0,0)点取得极小值,例,4)函数的极值点：,驻点,不存在,不存在,偏导数不存在的点,5,解:,得驻点:,有极小值, 无极值., 无极值.,有极大值,解方程组,6,步骤：,（2）对每个驻点( x0 , y0 )，求出二阶偏导数的值A, B, C.,（3）应用定理4.9判定得出结论。,（1）求,求出驻点( x0 , y0 ),并令,求函数 极值的方法和步骤.,7,最大值、最小值,对于区域 D 内任一点, 若恒有不等式,最大值与最小值统称为最值.,例如：,在点,处取得最小值 0.,在点,处
3、取得最大值 2.,则称该函数在点 处有最大值,使函数取得最值的点统称为最值点.,则称该函数在点 处有最小值,8,最大值、最小值的求法,最值点,（1）边界点,求出该函数在这些点上的函数值，比较大小即可求得最值,（2）驻点,（3）偏导数不存在的点,若根据实际问题确定函数的最值在区域 D 内部点取到，而函数在 D 内有唯一驻点，没有偏导数不存在的点，则可断定函数在此驻点上取到最值。,极值点,9,解:,则由体积,水箱所用材料即水箱表面积,设水箱的长、宽、高分别为 米，,可得,令,得唯一驻点(2,2).,根据实际问题，S 一定存在最小值.,因此,当 x = 2 米, y = 2 米, z = 2米时，表
4、面积 S 取得最小值24 平方米.,即当水箱的长，宽，搞相等时，所用材料最省.,10,拉格朗日乘数法：,（1). 构造拉格朗日函数:,其中常数 称为拉格朗日乘数.,(2). 解方程组：,解得,则点( x , y )可能为极值点.,(3). 判断 (x, y) 是否为极值点.,(一般情况下根据实际问题的实际意义可以判断),6.6.2 条件极值 拉格朗日乘数法,11,(1)构造拉格朗日函数:,(2)解方程组,解得,(3) 判断 (x, y, z) 是否为极值点.,12,再解例2.,解:,则问题变为,求,设水箱的长、宽、高分别为 米，,令,得唯一驻点(2,2,2).,此驻点即为最小值点.,因此,当 x = 2 米, y = 2 米, z = 2米时，表面积 S 取得最小值24 平方米.,即当水箱的长，宽，高相等时，所用材料最省.,作拉格朗日函数:,13,解:,问题即为:,求,解方程组,令,得,此唯一驻点即为最大值点.,购买两种原料A、B的数量分别为100，25时,可使产量最大.,例3.设生产某种产品的产量Q与所用两种原料A、B的数量x，y间的关系式为：Q = 0.005x2y，已知A、B两种原料的单价分别为1元和2元，现有150元，问应如何购料，可使产量最大?,14,解,拉格朗日函数:,联立,解得,所求距离为:,问题可归结为:,
