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1、一 寸 光 阴 不 可 轻第21章 分式1分式形如（A、B是分式的元素，此时则要求，否则无意义）的式子，叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。（这个大家都懂）【注】分式中。分母不能为零，否则分式无意义。如：a/A-A 不成立2有理式 整式和分式统称为有理式（可以成立的分数形式）。如：1/2 3分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。（即分子分母乘以同一个数（可以是方程式，也可以是未知数，或已知数）分式的大小不变。）如：a/A=a（b*c）/A（b*c）4最简分式分子与分母没有公因式的分式称为最简分式（就是说分子分母无法约分了）。如：2/4的
2、最简分式是1/2，a*b*c/A*b*c的最简分式是 a/A6最简公分母:各分母所有因式的最高次幂的积。取各式所有分母因式的最高次幂的积做公分母，这样的公分母叫做最简公分母。1/4,1/16,1/256 它们的最简公分母就是1/47分式的运算（1）分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简。如：1/4*2/5=(1*2)/(4*5)=2/20此时约分简化=1/10，a/b*c/d=（ab）/(cd), 15/20*10/20=150/400,简化得=3/8 （2）分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相除。如：1/2 /
3、 1/4= 4/1 / 2/1 =2 ，2/5 / 1/5=5/1 / 5/2=2 / （通俗的说就是把被除项颠倒分子分母顺序后除以同样颠倒的主除项）也可以教孩子先同化分母，再约分：1/3 / 1/2 =2/6 / 3/6 =2/3（3）分式的乘方等于分子分母分别乘方（乘方不好打，用这个代替）。（1/9）*（1/9）=1*1/9*9.（4）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。如：8/99+5/99=13/99 a/bc+2/cd=(a+2)/cd 2/5-1/5=（2-1）/5=1/5 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减。如：1/5-1/10=2/10-1/10=1/
4、10，a/b-a/bc=ac/bc-a/bc=（ac-a）/bc8分式方程（1）分母中含有未知数的方程叫做分式方程。如：1/3a=1/3 1/2b=1/8（其实上面的 例题用了很多，此时未知数不一定用x）（2）解分式方程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解。所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母。如：1/3a=1/3 解：a=1 1/2b=1/8 解：4b=1 b=1/4.此时最简公分母约分即可得到。（3）增根指的是在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0（此时分式无意义如（x-1)/(x-2) = 2/(x-2)
5、根应该是 x=3但在解方程过程中，我们需要先把它转化成整式方程：(x-1)(x-2) = 2(x-2)即 x*x-5x+6=0这个方程有两个根 x=2或x=3其中x=2就是在转化过程中把x2这个条件去掉后产生的增根。）或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根（这里就是如同1/b，b不能等于0一样，要使得分式成立有意义，分母不等于0的对未知数的限制条件），叫做原方程的增根（4）解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零。有时为了方便起见，可将它代入最简公分母中，看它的值是否为零，若为零，则为增根。9零指数幂与负整指数幂（1）任何不等于
6、零的数的零次幂都等于1。（如a的0次方=1，abcd的0次方依然等于1 894527的0次方还是等于1）【注】0的零次幂没有意义。（2）任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数。是正整数）1 利用10的负整指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成的形式，其中n是正整数，。（1*10的-2次方=1/100这个意思，10的-1次方=1/10，-2次方=1/100一次类推）第22章 一元二次方程1一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。（在下面我用a2表示a的2次方）一般形式：是已知数，。其中分别叫做二次项的
7、系数，一次项的系数，常数项。2一元二次方程的解法（其实我觉得解法的选择也很重要，解方程前要通过观察方程式后慎重选择解法）（1）直接开平方法 (就是直接把有平方项打开相加减求值如（1+x）2-（2-x）2=0 解：1+2x+x2-4+4x-x2 = 6x-3=0 x=1/2)（2）因式分解法。(即十字相乘法，如：x2+3x+2=0 这时候我们变化这个方程，其中的2可以等于1*2 ，3x可以等于x+2x， x2=x*x 就可以变成 （3）配方法：y=ax+bx+c=a(x+bx/a)+c 添上 b/a 一半的平方，再减去这个数=a(x+bx/a+b/4a-b/4a)+c=a(x+b/2a)-a*b
8、/4a+c=a(x+b/2a)-b/4a+c（这是书上的原文）我举个有数字的例子：x2+2x=-1 x2 +2x + 1= -1 + 1 （+1就是（b/2a）2 即（2/2）2 = 1） x2 +2x+1 =0 （x+1）2 =0 即x=-1 还有一种：2x2 + x = 01. 先同除以2 得： x2 + 1/2x =02. 配（b/2a）2 =（1/4）2即可得 x2 +1/2x+ （1/4）2 -（1/4）2 =03. 得出（x+1/4）2 1/16 =04. 解得x1=0，x2=-1/2当然也有根麻烦的，直接写出解的x的值就可以。x2+1/2x=1/4x2+1/2x+1/16=5/1
9、6（x+1/4）2=5/16（然后讨论x的正负就可以得出解）x为正时：x + 1/4= 根号5/4 x为负时：1/4 x=根号5/4（4）公式法 （这个超纲了应该，高中数学的，不过很好用，套进去用就OK。如：3x2+6x=0 解x1=0 x2= -23一元二次方程的判别式，当时，方程有两个不等的实根。如：3x2+6x=0 =36 如上题般，当时，方程有两个相等的实根。如 如：3x2+6x+3=0 = 36-36 只有唯一的x= -1当时，方程没有实数根。(这个一定超纲的，但可以用来最后检验方程所求的根是否正确)第23章 圆1圆的认识（这一章注重概念还有圆上线的运用）（1）当一条线段OA绕着它的
10、一个端点O在平面内旋转一周时，它的另一个端点A的轨迹叫做圆。或到一个定点的距离等于定长的点的集合。这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“O”。（2）线段OA、OB、OC都是圆的半径，线段AC为直径（此时三角形ABC一定是直角三角形）。（3）连结圆上任意两点之间的线段叫做弦如线段AB、BC、AC都是圆O中的弦。（4）圆上任意两点间的部分叫做弧。如曲线BC、BAC都是圆中的弧，分别记为、，其中像弧这样小于半圆周的圆叫做劣弧。像弧，这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧（这么记：相比较半个圆，哪个多哪个优秀，哪个少哪个劣等）。（3）圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角（圆内的连线中以圆点（0）为
11、顶角的角）。如AOB、AOC、BOC就是圆心角（不能小于0度也不能大于360度）。2圆的对称性（1）在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。（2）在同一个圆中，如果弦（这里的弦指的是如同在图中AB的长）相等，那么所对的圆心角、所对的弧相等。（3）在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。（4）圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。3垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧（而且也将弧对应的角平分）。推论：平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。4圆周角（1）圆周角：顶点在圆上，两边与圆相
12、交的角叫做圆周角。图中角ACB,角CBA,角BAC，都是圆周角（打个比方：三角形三个点都在圆上，则三角形的三个角都是圆周角）（2）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90（直角）（这个非常实用）。90的圆周角所对的弦是圆的直径。（如图：角ABC就是直角，对应了AC这条直径。扩展：这里可以几何推理得出 线段 OB=1/2AC，直角三角形斜边长等于中线的两倍，其实也可以用勾股定理 c2 = a2 + b2）（3）同圆或等圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。（这是个概念，可以推理。讲到这一课的时候我写张推理的纸片给你。如图：角AOB就是角ACB的两倍，对于初中的要求就
13、是记得这个概念了。）（4）同弧（或等弧）所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等。5点与圆的位置关系设O的半径为r，点圆心O的距离为d，则（1）点在圆外 （2）点在圆上 （3）点在圆内 6（1）过一点可以画无数个圆；过两点可以画无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上；过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆。（2）三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点。（3）一个三角形的外接圆是唯一的（三个点只能确定唯一的一个面）。7直线与圆的位置关系（1）如果一条直线
14、与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离。（2）如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切。此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点（3）如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交，此时这条直线叫做圆的割线如上图，设O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，从图中可以看出：若 直线l与O相离；若 直线l与O相切；若 直线l与O相交；8切线（1）判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。推论：1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。（3）切线长：把切线上某一点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。性质：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等。这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。（5）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆。三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心。这个三角形叫做这个圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点。6圆和圆的位置关系1）两个圆没有公共点，那么就说两个圆相离，其中（1）又叫做外离，（2）、（3）又叫做内含。（3）中两圆的圆心相同，这两个圆还可以叫做同心圆。2）如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，如（4）、（5）所示其中（4）又叫做外切，（
